Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78695 / 83993
↖ ↑ ↗
← S 45.137492°
E 36.142273°		 ← 215.45 m → S 45.137492°
E 36.145020°		 →
↑
215.47 m
↓
↑
215.47 m
↓
S 45.139430°
E 36.142273°		 ← 215.44 m →
46 422 m²		 S 45.139430°
E 36.145020°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78695 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83993 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.600399017333984 y=0.640819549560547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.600399017333984 × 217)
    floor (0.600399017333984 × 131072)
    floor (78695.5)     		tx = 78695
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640819549560547 × 217)
    floor (0.640819549560547 × 131072)
    floor (83993.5)     		ty = 83993
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78695 / 83993 ti = "17/78695/83993"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78695/83993.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78695 ÷ 217
    78695 ÷ 131072     		x = 0.600395202636719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83993 ÷ 217
    83993 ÷ 131072     		y = 0.640815734863281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.600395202636719 × 2 - 1) × π
    0.200790405273438 × 3.1415926535     		Λ = 0.63080166
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.640815734863281 × 2 - 1) × π
    -0.281631469726562 × 3.1415926535     		Φ = -0.884771356287376
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.63080166} λ = 0.63080166}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.884771356287376))-π/2
    2×atan(0.412808548568628)-π/2
    2×0.391499231955355-π/2
    0.78299846391071-1.57079632675     		φ = -0.78779786
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.63080166} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.142273°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78779786 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.137492°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78695 KachelY 83993 0.63080166 -0.78779786 36.142273 -45.137492
    Oben rechts KachelX + 1 78696 KachelY 83993 0.63084960 -0.78779786 36.145020 -45.137492
    Unten links KachelX 78695 KachelY + 1 83994 0.63080166 -0.78783168 36.142273 -45.139430
    Unten rechts KachelX + 1 78696 KachelY + 1 83994 0.63084960 -0.78783168 36.145020 -45.139430
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78779786--0.78783168) × R
    3.38200000000732e-05 × 6371000     		dl = 215.467220000467m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78779786--0.78783168) × R
    3.38200000000732e-05 × 6371000     		dr = 215.467220000467m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.63080166-0.63084960) × cos(-0.78779786) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.705407905122946 × 6371000     		do = 215.449731423884m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.63080166-0.63084960) × cos(-0.78783168) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.705383933049914 × 6371000     		du = 215.442409735739m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78779786)-sin(-0.78783168))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.705407905122946-0.705383933049914)×R²
    abs(0.63084960-0.63080166)×2.39720730320636e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39720730320636e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39720730320636e-05×40589641000000     		ar = 46421.5658922613m²