Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78687 / 59465
↖ ↑ ↗
← N 16.443988°
E 36.120300°		 ← 292.87 m → N 16.443988°
E 36.123047°		 →
↑
292.87 m
↓
↑
292.87 m
↓
N 16.441354°
E 36.120300°		 ← 292.88 m →
85 775 m²		 N 16.441354°
E 36.123047°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78687 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59465 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.600337982177734 y=0.453685760498047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.600337982177734 × 217)
    floor (0.600337982177734 × 131072)
    floor (78687.5)     		tx = 78687
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.453685760498047 × 217)
    floor (0.453685760498047 × 131072)
    floor (59465.5)     		ty = 59465
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78687 / 59465 ti = "17/78687/59465"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78687/59465.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78687 ÷ 217
    78687 ÷ 131072     		x = 0.600334167480469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59465 ÷ 217
    59465 ÷ 131072     		y = 0.453681945800781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.600334167480469 × 2 - 1) × π
    0.200668334960938 × 3.1415926535     		Λ = 0.63041817
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.453681945800781 × 2 - 1) × π
    0.0926361083984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.291024917593361
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.63041817} λ = 0.63041817}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.291024917593361))-π/2
    2×atan(1.33779791823925)-π/2
    2×0.928899030218887-π/2
    1.85779806043777-1.57079632675     		φ = 0.28700173
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.63041817} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.120300°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.28700173 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.443988°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78687 KachelY 59465 0.63041817 0.28700173 36.120300 16.443988
    Oben rechts KachelX + 1 78688 KachelY 59465 0.63046610 0.28700173 36.123047 16.443988
    Unten links KachelX 78687 KachelY + 1 59466 0.63041817 0.28695576 36.120300 16.441354
    Unten rechts KachelX + 1 78688 KachelY + 1 59466 0.63046610 0.28695576 36.123047 16.441354
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.28700173-0.28695576) × R
    4.59700000000063e-05 × 6371000     		dl = 292.87487000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.28700173-0.28695576) × R
    4.59700000000063e-05 × 6371000     		dr = 292.87487000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.63041817-0.63046610) × cos(0.28700173) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.959096929083741 × 6371000     		do = 292.871785231957m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.63041817-0.63046610) × cos(0.28695576) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.95910994116003 × 6371000     		du = 292.875758625987m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.28700173)-sin(0.28695576))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.959096929083741-0.95910994116003)×R²
    abs(0.63046610-0.63041817)×1.30120762891206e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.30120762891206e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.30120762891206e-05×40589641000000     		ar = 85775.3678952503m²