Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78681 / 83957
↖ ↑ ↗
← S 45.067702°
E 36.103821°		 ← 215.67 m → S 45.067702°
E 36.106567°		 →
↑
215.66 m
↓
↑
215.66 m
↓
S 45.069641°
E 36.103821°		 ← 215.66 m →
46 510 m²		 S 45.069641°
E 36.106567°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78681 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83957 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.600292205810547 y=0.640544891357422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.600292205810547 × 217)
    floor (0.600292205810547 × 131072)
    floor (78681.5)     		tx = 78681
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640544891357422 × 217)
    floor (0.640544891357422 × 131072)
    floor (83957.5)     		ty = 83957
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78681 / 83957 ti = "17/78681/83957"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78681/83957.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78681 ÷ 217
    78681 ÷ 131072     		x = 0.600288391113281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83957 ÷ 217
    83957 ÷ 131072     		y = 0.640541076660156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.600288391113281 × 2 - 1) × π
    0.200576782226562 × 3.1415926535     		Λ = 0.63013055
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.640541076660156 × 2 - 1) × π
    -0.281082153320312 × 3.1415926535     		Φ = -0.883045627901054
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.63013055} λ = 0.63013055}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.883045627901054))-π/2
    2×atan(0.413521559053272)-π/2
    2×0.392108275440781-π/2
    0.784216550881562-1.57079632675     		φ = -0.78657978
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.63013055} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.103821°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78657978 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.067702°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78681 KachelY 83957 0.63013055 -0.78657978 36.103821 -45.067702
    Oben rechts KachelX + 1 78682 KachelY 83957 0.63017848 -0.78657978 36.106567 -45.067702
    Unten links KachelX 78681 KachelY + 1 83958 0.63013055 -0.78661363 36.103821 -45.069641
    Unten rechts KachelX + 1 78682 KachelY + 1 83958 0.63017848 -0.78661363 36.106567 -45.069641
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78657978--0.78661363) × R
    3.38500000000019e-05 × 6371000     		dl = 215.658350000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78657978--0.78661363) × R
    3.38500000000019e-05 × 6371000     		dr = 215.658350000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.63013055-0.63017848) × cos(-0.78657978) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.706270758631073 × 6371000     		do = 215.668272585356m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.63013055-0.63017848) × cos(-0.78661363) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.706246794395959 × 6371000     		du = 215.660954817875m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78657978)-sin(-0.78661363))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.706270758631073-0.706246794395959)×R²
    abs(0.63017848-0.63013055)×2.39642351133051e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39642351133051e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39642351133051e-05×40589641000000     		ar = 46509.8747485864m²