Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7868 / 4868
↖ ↑ ↗
← N 58.768200°
W  7.119140°		 ← 1 266.81 m → N 58.768200°
W  7.097168°		 →
↑
1 267.06 m
↓
↑
1 267.06 m
↓
N 58.756805°
W  7.119140°		 ← 1 267.23 m →
1 605 394 m²		 N 58.756805°
W  7.097168°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7868 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4868 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480255126953125 y=0.297149658203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480255126953125 × 214)
    floor (0.480255126953125 × 16384)
    floor (7868.5)     		tx = 7868
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.297149658203125 × 214)
    floor (0.297149658203125 × 16384)
    floor (4868.5)     		ty = 4868
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7868 / 4868 ti = "14/7868/4868"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7868/4868.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7868 ÷ 214
    7868 ÷ 16384     		x = 0.480224609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4868 ÷ 214
    4868 ÷ 16384     		y = 0.297119140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.480224609375 × 2 - 1) × π
    -0.03955078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.12425244
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.297119140625 × 2 - 1) × π
    0.40576171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.27473803469653
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12425244} λ = -0.12425244}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27473803469653))-π/2
    2×atan(3.5777640372856)-π/2
    2×1.2982474575129-π/2
    2.59649491502579-1.57079632675     		φ = 1.02569859
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12425244} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.119140°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02569859 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.768200°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7868 KachelY 4868 -0.12425244 1.02569859 -7.119140 58.768200
    Oben rechts KachelX + 1 7869 KachelY 4868 -0.12386895 1.02569859 -7.097168 58.768200
    Unten links KachelX 7868 KachelY + 1 4869 -0.12425244 1.02549971 -7.119140 58.756805
    Unten rechts KachelX + 1 7869 KachelY + 1 4869 -0.12386895 1.02549971 -7.097168 58.756805
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02569859-1.02549971) × R
    0.000198879999999901 × 6371000     		dl = 1267.06447999937m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02569859-1.02549971) × R
    0.000198879999999901 × 6371000     		dr = 1267.06447999937m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12425244--0.12386895) × cos(1.02569859) × R
    0.00038349 × 0.518501665428924 × 6371000     		do = 1266.81093761558m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12425244--0.12386895) × cos(1.02549971) × R
    0.00038349 × 0.518671712811411 × 6371000     		du = 1267.22639989547m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02569859)-sin(1.02549971))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.518501665428924-0.518671712811411)×R²
    abs(-0.12386895--0.12425244)×0.00017004738248716×R²
    0.00038349×0.00017004738248716×6371000²
    0.00038349×0.00017004738248716×40589641000000     		ar = 1605394.35596889m²