Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78679 / 84039
↖ ↑ ↗
← S 45.226546°
E 36.098328°		 ← 215.11 m → S 45.226546°
E 36.101074°		 →
↑
215.08 m
↓
↑
215.08 m
↓
S 45.228480°
E 36.098328°		 ← 215.11 m →
46 267 m²		 S 45.228480°
E 36.101074°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78679 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84039 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.600276947021484 y=0.641170501708984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.600276947021484 × 217)
    floor (0.600276947021484 × 131072)
    floor (78679.5)     		tx = 78679
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641170501708984 × 217)
    floor (0.641170501708984 × 131072)
    floor (84039.5)     		ty = 84039
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78679 / 84039 ti = "17/78679/84039"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78679/84039.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78679 ÷ 217
    78679 ÷ 131072     		x = 0.600273132324219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84039 ÷ 217
    84039 ÷ 131072     		y = 0.641166687011719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.600273132324219 × 2 - 1) × π
    0.200546264648438 × 3.1415926535     		Λ = 0.63003467
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.641166687011719 × 2 - 1) × π
    -0.282333374023438 × 3.1415926535     		Φ = -0.886976453669899
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.63003467} λ = 0.63003467}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.886976453669899))-π/2
    2×atan(0.411899268412786)-π/2
    2×0.390722093191305-π/2
    0.78144418638261-1.57079632675     		φ = -0.78935214
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.63003467} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.098328°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78935214 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.226546°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78679 KachelY 84039 0.63003467 -0.78935214 36.098328 -45.226546
    Oben rechts KachelX + 1 78680 KachelY 84039 0.63008261 -0.78935214 36.101074 -45.226546
    Unten links KachelX 78679 KachelY + 1 84040 0.63003467 -0.78938590 36.098328 -45.228480
    Unten rechts KachelX + 1 78680 KachelY + 1 84040 0.63008261 -0.78938590 36.101074 -45.228480
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78935214--0.78938590) × R
    3.37599999999938e-05 × 6371000     		dl = 215.08495999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78935214--0.78938590) × R
    3.37599999999938e-05 × 6371000     		dr = 215.08495999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.63003467-0.63008261) × cos(-0.78935214) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.704305377381231 × 6371000     		do = 215.112991072501m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.63003467-0.63008261) × cos(-0.78938590) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.70428141085276 × 6371000     		du = 215.105671077807m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78935214)-sin(-0.78938590))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.704305377381231-0.70428141085276)×R²
    abs(0.63008261-0.63003467)×2.3966528470809e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3966528470809e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3966528470809e-05×40589641000000     		ar = 46266.7818743722m²