Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78672 / 82832
↖ ↑ ↗
← S 42.843751°
E 36.079101°		 ← 223.94 m → S 42.843751°
E 36.081848°		 →
↑
223.94 m
↓
↑
223.94 m
↓
S 42.845765°
E 36.079101°		 ← 223.93 m →
50 149 m²		 S 42.845765°
E 36.081848°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78672 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82832 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.600223541259766 y=0.631961822509766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.600223541259766 × 217)
    floor (0.600223541259766 × 131072)
    floor (78672.5)     		tx = 78672
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631961822509766 × 217)
    floor (0.631961822509766 × 131072)
    floor (82832.5)     		ty = 82832
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78672 / 82832 ti = "17/78672/82832"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78672/82832.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78672 ÷ 217
    78672 ÷ 131072     		x = 0.6002197265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82832 ÷ 217
    82832 ÷ 131072     		y = 0.6319580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6002197265625 × 2 - 1) × π
    0.200439453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.62969911
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6319580078125 × 2 - 1) × π
    -0.263916015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.829116615828491
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.62969911} λ = 0.62969911}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.829116615828491))-π/2
    2×atan(0.436434655548547)-π/2
    2×0.41151590113141-π/2
    0.82303180226282-1.57079632675     		φ = -0.74776452
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.62969911} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.079101°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74776452 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.843751°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78672 KachelY 82832 0.62969911 -0.74776452 36.079101 -42.843751
    Oben rechts KachelX + 1 78673 KachelY 82832 0.62974705 -0.74776452 36.081848 -42.843751
    Unten links KachelX 78672 KachelY + 1 82833 0.62969911 -0.74779967 36.079101 -42.845765
    Unten rechts KachelX + 1 78673 KachelY + 1 82833 0.62974705 -0.74779967 36.081848 -42.845765
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74776452--0.74779967) × R
    3.51499999999838e-05 × 6371000     		dl = 223.940649999897m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74776452--0.74779967) × R
    3.51499999999838e-05 × 6371000     		dr = 223.940649999897m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.62969911-0.62974705) × cos(-0.74776452) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.733210829160377 × 6371000     		do = 223.941460072175m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.62969911-0.62974705) × cos(-0.74779967) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.733186926658843 × 6371000     		du = 223.934159632956m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74776452)-sin(-0.74779967))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.733210829160377-0.733186926658843)×R²
    abs(0.62974705-0.62969911)×2.39025015340566e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39025015340566e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39025015340566e-05×40589641000000     		ar = 50148.7787031543m²