Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78664 / 83927
↖ ↑ ↗
← S 45.009477°
E 36.057129°		 ← 215.93 m → S 45.009477°
E 36.059876°		 →
↑
215.91 m
↓
↑
215.91 m
↓
S 45.011419°
E 36.057129°		 ← 215.93 m →
46 622 m²		 S 45.011419°
E 36.059876°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78664 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83927 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.600162506103516 y=0.640316009521484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.600162506103516 × 217)
    floor (0.600162506103516 × 131072)
    floor (78664.5)     		tx = 78664
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640316009521484 × 217)
    floor (0.640316009521484 × 131072)
    floor (83927.5)     		ty = 83927
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78664 / 83927 ti = "17/78664/83927"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78664/83927.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78664 ÷ 217
    78664 ÷ 131072     		x = 0.60015869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83927 ÷ 217
    83927 ÷ 131072     		y = 0.640312194824219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60015869140625 × 2 - 1) × π
    0.2003173828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.62931562
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.640312194824219 × 2 - 1) × π
    -0.280624389648438 × 3.1415926535     		Φ = -0.881607520912453
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.62931562} λ = 0.62931562}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.881607520912453))-π/2
    2×atan(0.414116675115002)-π/2
    2×0.392616380418344-π/2
    0.785232760836689-1.57079632675     		φ = -0.78556357
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.62931562} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.057129°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78556357 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.009477°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78664 KachelY 83927 0.62931562 -0.78556357 36.057129 -45.009477
    Oben rechts KachelX + 1 78665 KachelY 83927 0.62936356 -0.78556357 36.059876 -45.009477
    Unten links KachelX 78664 KachelY + 1 83928 0.62931562 -0.78559746 36.057129 -45.011419
    Unten rechts KachelX + 1 78665 KachelY + 1 83928 0.62936356 -0.78559746 36.059876 -45.011419
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78556357--0.78559746) × R
    3.38899999999809e-05 × 6371000     		dl = 215.913189999878m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78556357--0.78559746) × R
    3.38899999999809e-05 × 6371000     		dr = 215.913189999878m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.62931562-0.62936356) × cos(-0.78556357) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.706989811383775 × 6371000     		do = 215.932886314708m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.62931562-0.62936356) × cos(-0.78559746) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.706965843165514 × 6371000     		du = 215.925565803909m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78556357)-sin(-0.78559746))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.706989811383775-0.706965843165514)×R²
    abs(0.62936356-0.62931562)×2.39682182611167e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.39682182611167e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.39682182611167e-05×40589641000000     		ar = 46621.9680170821m²