Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78657 / 83905
↖ ↑ ↗
← S 44.966741°
E 36.037903°		 ← 216.09 m → S 44.966741°
E 36.040650°		 →
↑
216.04 m
↓
↑
216.04 m
↓
S 44.968684°
E 36.037903°		 ← 216.09 m →
46 684 m²		 S 44.968684°
E 36.040650°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78657 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83905 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.600109100341797 y=0.640148162841797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.600109100341797 × 217)
    floor (0.600109100341797 × 131072)
    floor (78657.5)     		tx = 78657
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640148162841797 × 217)
    floor (0.640148162841797 × 131072)
    floor (83905.5)     		ty = 83905
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78657 / 83905 ti = "17/78657/83905"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78657/83905.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78657 ÷ 217
    78657 ÷ 131072     		x = 0.600105285644531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83905 ÷ 217
    83905 ÷ 131072     		y = 0.640144348144531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.600105285644531 × 2 - 1) × π
    0.200210571289062 × 3.1415926535     		Λ = 0.62898006
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.640144348144531 × 2 - 1) × π
    -0.280288696289062 × 3.1415926535     		Φ = -0.880552909120812
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.62898006} λ = 0.62898006}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.880552909120812))-π/2
    2×atan(0.414553637816202)-π/2
    2×0.392989319341423-π/2
    0.785978638682846-1.57079632675     		φ = -0.78481769
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.62898006} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.037903°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78481769 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.966741°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78657 KachelY 83905 0.62898006 -0.78481769 36.037903 -44.966741
    Oben rechts KachelX + 1 78658 KachelY 83905 0.62902800 -0.78481769 36.040650 -44.966741
    Unten links KachelX 78657 KachelY + 1 83906 0.62898006 -0.78485160 36.037903 -44.968684
    Unten rechts KachelX + 1 78658 KachelY + 1 83906 0.62902800 -0.78485160 36.040650 -44.968684
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78481769--0.78485160) × R
    3.39099999999704e-05 × 6371000     		dl = 216.040609999811m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78481769--0.78485160) × R
    3.39099999999704e-05 × 6371000     		dr = 216.040609999811m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.62898006-0.62902800) × cos(-0.78481769) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.707517118709544 × 6371000     		do = 216.093939544889m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.62898006-0.62902800) × cos(-0.78485160) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.70749315423444 × 6371000     		du = 216.086620177347m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78481769)-sin(-0.78485160))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.707517118709544-0.70749315423444)×R²
    abs(0.62902800-0.62898006)×2.3964475103444e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.3964475103444e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.3964475103444e-05×40589641000000     		ar = 46684.2758805687m²