Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 78656 / 83904
↖ ↑ ↗
← S 44.964798°
E 36.035156°		 ← 216.10 m → S 44.964798°
E 36.037903°		 →
↑
216.10 m
↓
↑
216.10 m
↓
S 44.966741°
E 36.035156°		 ← 216.09 m →
46 700 m²		 S 44.966741°
E 36.037903°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78656 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83904 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.600101470947266 y=0.640140533447266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.600101470947266 × 217)
    floor (0.600101470947266 × 131072)
    floor (78656.5)     		tx = 78656
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640140533447266 × 217)
    floor (0.640140533447266 × 131072)
    floor (83904.5)     		ty = 83904
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78656 / 83904 ti = "17/78656/83904"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78656/83904.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78656 ÷ 217
    78656 ÷ 131072     		x = 0.60009765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83904 ÷ 217
    83904 ÷ 131072     		y = 0.64013671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60009765625 × 2 - 1) × π
    0.2001953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.62893212
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64013671875 × 2 - 1) × π
    -0.2802734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.880504972221191
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.62893212} λ = 0.62893212}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.880504972221191))-π/2
    2×atan(0.414573510708644)-π/2
    2×0.393006277717247-π/2
    0.786012555434495-1.57079632675     		φ = -0.78478377
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.62893212} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.035156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78478377 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.964798°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78656 KachelY 83904 0.62893212 -0.78478377 36.035156 -44.964798
    Oben rechts KachelX + 1 78657 KachelY 83904 0.62898006 -0.78478377 36.037903 -44.964798
    Unten links KachelX 78656 KachelY + 1 83905 0.62893212 -0.78481769 36.035156 -44.966741
    Unten rechts KachelX + 1 78657 KachelY + 1 83905 0.62898006 -0.78481769 36.037903 -44.966741
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78478377--0.78481769) × R
    3.39200000000206e-05 × 6371000     		dl = 216.104320000131m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78478377--0.78481769) × R
    3.39200000000206e-05 × 6371000     		dr = 216.104320000131m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.62893212-0.62898006) × cos(-0.78478377) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.707541089437804 × 6371000     		do = 216.101260821806m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.62893212-0.62898006) × cos(-0.78481769) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.707517118709544 × 6371000     		du = 216.093939544389m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78478377)-sin(-0.78481769))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.707541089437804-0.707517118709544)×R²
    abs(0.62898006-0.62893212)×2.39707282599921e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39707282599921e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39707282599921e-05×40589641000000     		ar = 46699.6249457876m²