Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78653 / 84055
↖ ↑ ↗
← S 45.257489°
E 36.026916°		 ← 215 m → S 45.257489°
E 36.029663°		 →
↑
214.96 m
↓
↑
214.96 m
↓
S 45.259422°
E 36.026916°		 ← 214.99 m →
46 214 m²		 S 45.259422°
E 36.029663°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78653 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84055 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.600078582763672 y=0.641292572021484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.600078582763672 × 217)
    floor (0.600078582763672 × 131072)
    floor (78653.5)     		tx = 78653
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641292572021484 × 217)
    floor (0.641292572021484 × 131072)
    floor (84055.5)     		ty = 84055
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78653 / 84055 ti = "17/78653/84055"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78653/84055.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78653 ÷ 217
    78653 ÷ 131072     		x = 0.600074768066406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84055 ÷ 217
    84055 ÷ 131072     		y = 0.641288757324219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.600074768066406 × 2 - 1) × π
    0.200149536132812 × 3.1415926535     		Λ = 0.62878831
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.641288757324219 × 2 - 1) × π
    -0.282577514648438 × 3.1415926535     		Φ = -0.88774344406382
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.62878831} λ = 0.62878831}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.88774344406382))-π/2
    2×atan(0.411583466754551)-π/2
    2×0.390452068993765-π/2
    0.78090413798753-1.57079632675     		φ = -0.78989219
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.62878831} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.026916°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78989219 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.257489°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78653 KachelY 84055 0.62878831 -0.78989219 36.026916 -45.257489
    Oben rechts KachelX + 1 78654 KachelY 84055 0.62883625 -0.78989219 36.029663 -45.257489
    Unten links KachelX 78653 KachelY + 1 84056 0.62878831 -0.78992593 36.026916 -45.259422
    Unten rechts KachelX + 1 78654 KachelY + 1 84056 0.62883625 -0.78992593 36.029663 -45.259422
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78989219--0.78992593) × R
    3.37400000000043e-05 × 6371000     		dl = 214.957540000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78989219--0.78992593) × R
    3.37400000000043e-05 × 6371000     		dr = 214.957540000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.62878831-0.62883625) × cos(-0.78989219) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.703921894747991 × 6371000     		do = 214.995865605466m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.62878831-0.62883625) × cos(-0.78992593) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.7038979295883 × 6371000     		du = 214.988546028833m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78989219)-sin(-0.78992593))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.703921894747991-0.7038979295883)×R²
    abs(0.62883625-0.62878831)×2.39651596914969e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39651596914969e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39651596914969e-05×40589641000000     		ar = 46214.1956861044m²