Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7865 / 9886
↖ ↑ ↗
← S 34.849875°
W  7.185059°		 ← 2 005.08 m → S 34.849875°
W  7.163086°		 →
↑
2 004.83 m
↓
↑
2 004.83 m
↓
S 34.867905°
W  7.185059°		 ← 2 004.64 m →
4 019 400 m²		 S 34.867905°
W  7.163086°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7865 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9886 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480072021484375 y=0.603424072265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480072021484375 × 214)
    floor (0.480072021484375 × 16384)
    floor (7865.5)     		tx = 7865
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.603424072265625 × 214)
    floor (0.603424072265625 × 16384)
    floor (9886.5)     		ty = 9886
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7865 / 9886 ti = "14/7865/9886"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7865/9886.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7865 ÷ 214
    7865 ÷ 16384     		x = 0.48004150390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9886 ÷ 214
    9886 ÷ 16384     		y = 0.6033935546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48004150390625 × 2 - 1) × π
    -0.0399169921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.12540293
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6033935546875 × 2 - 1) × π
    -0.206787109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.649640863651001
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12540293} λ = -0.12540293}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.649640863651001))-π/2
    2×atan(0.522233296045773)-π/2
    2×0.481275631796985-π/2
    0.96255126359397-1.57079632675     		φ = -0.60824506
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12540293} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.185059°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60824506 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.849875°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7865 KachelY 9886 -0.12540293 -0.60824506 -7.185059 -34.849875
    Oben rechts KachelX + 1 7866 KachelY 9886 -0.12501943 -0.60824506 -7.163086 -34.849875
    Unten links KachelX 7865 KachelY + 1 9887 -0.12540293 -0.60855974 -7.185059 -34.867905
    Unten rechts KachelX + 1 7866 KachelY + 1 9887 -0.12501943 -0.60855974 -7.163086 -34.867905
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60824506--0.60855974) × R
    0.000314680000000012 × 6371000     		dl = 2004.82628000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60824506--0.60855974) × R
    0.000314680000000012 × 6371000     		dr = 2004.82628000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12540293--0.12501943) × cos(-0.60824506) × R
    0.000383500000000009 × 0.820652103168299 × 6371000     		do = 2005.08163965093m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12540293--0.12501943) × cos(-0.60855974) × R
    0.000383500000000009 × 0.820472245530492 × 6371000     		du = 2004.64219735142m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60824506)-sin(-0.60855974))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.820652103168299-0.820472245530492)×R²
    abs(-0.12501943--0.12540293)×0.000179857637807035×R²
    0.000383500000000009×0.000179857637807035×6371000²
    0.000383500000000009×0.000179857637807035×40589641000000     		ar = 4019399.89515165m²