Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7865 / 9881
↖ ↑ ↗
← S 34.759666°
W  7.185059°		 ← 2 007.28 m → S 34.759666°
W  7.163086°		 →
↑
2 007.06 m
↓
↑
2 007.06 m
↓
S 34.777716°
W  7.185059°		 ← 2 006.84 m →
4 028 278 m²		 S 34.777716°
W  7.163086°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7865 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9881 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480072021484375 y=0.603118896484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480072021484375 × 214)
    floor (0.480072021484375 × 16384)
    floor (7865.5)     		tx = 7865
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.603118896484375 × 214)
    floor (0.603118896484375 × 16384)
    floor (9881.5)     		ty = 9881
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7865 / 9881 ti = "14/7865/9881"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7865/9881.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7865 ÷ 214
    7865 ÷ 16384     		x = 0.48004150390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9881 ÷ 214
    9881 ÷ 16384     		y = 0.60308837890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48004150390625 × 2 - 1) × π
    -0.0399169921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.12540293
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.60308837890625 × 2 - 1) × π
    -0.2061767578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.647723387666199
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12540293} λ = -0.12540293}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.647723387666199))-π/2
    2×atan(0.523235626514599)-π/2
    2×0.482062853020404-π/2
    0.964125706040808-1.57079632675     		φ = -0.60667062
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12540293} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.185059°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60667062 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.759666°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7865 KachelY 9881 -0.12540293 -0.60667062 -7.185059 -34.759666
    Oben rechts KachelX + 1 7866 KachelY 9881 -0.12501943 -0.60667062 -7.163086 -34.759666
    Unten links KachelX 7865 KachelY + 1 9882 -0.12540293 -0.60698565 -7.185059 -34.777716
    Unten rechts KachelX + 1 7866 KachelY + 1 9882 -0.12501943 -0.60698565 -7.163086 -34.777716
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60667062--0.60698565) × R
    0.000315029999999994 × 6371000     		dl = 2007.05612999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60667062--0.60698565) × R
    0.000315029999999994 × 6371000     		dr = 2007.05612999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12540293--0.12501943) × cos(-0.60667062) × R
    0.000383500000000009 × 0.82155076498497 × 6371000     		do = 2007.27732074638m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12540293--0.12501943) × cos(-0.60698565) × R
    0.000383500000000009 × 0.821371114475261 × 6371000     		du = 2006.83838451849m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60667062)-sin(-0.60698565))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.82155076498497-0.821371114475261)×R²
    abs(-0.12501943--0.12540293)×0.000179650509709361×R²
    0.000383500000000009×0.000179650509709361×6371000²
    0.000383500000000009×0.000179650509709361×40589641000000     		ar = 4028277.799707m²