Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 78644 / 82788
↖ ↑ ↗
← S 42.755080°
E 36.002197°		 ← 224.26 m → S 42.755080°
E 36.004944°		 →
↑
224.26 m
↓
↑
224.26 m
↓
S 42.757096°
E 36.002197°		 ← 224.26 m →
50 292 m²		 S 42.757096°
E 36.004944°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78644 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82788 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.600009918212891 y=0.631626129150391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.600009918212891 × 217)
    floor (0.600009918212891 × 131072)
    floor (78644.5)     		tx = 78644
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631626129150391 × 217)
    floor (0.631626129150391 × 131072)
    floor (82788.5)     		ty = 82788
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78644 / 82788 ti = "17/78644/82788"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78644/82788.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78644 ÷ 217
    78644 ÷ 131072     		x = 0.600006103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82788 ÷ 217
    82788 ÷ 131072     		y = 0.631622314453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.600006103515625 × 2 - 1) × π
    0.20001220703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.62835688
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.631622314453125 × 2 - 1) × π
    -0.26324462890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.827007392245209
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.62835688} λ = 0.62835688}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.827007392245209))-π/2
    2×atan(0.437356165310016)-π/2
    2×0.412289708399332-π/2
    0.824579416798665-1.57079632675     		φ = -0.74621691
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.62835688} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.002197°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74621691 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.755080°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78644 KachelY 82788 0.62835688 -0.74621691 36.002197 -42.755080
    Oben rechts KachelX + 1 78645 KachelY 82788 0.62840482 -0.74621691 36.004944 -42.755080
    Unten links KachelX 78644 KachelY + 1 82789 0.62835688 -0.74625211 36.002197 -42.757096
    Unten rechts KachelX + 1 78645 KachelY + 1 82789 0.62840482 -0.74625211 36.004944 -42.757096
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74621691--0.74625211) × R
    3.5200000000013e-05 × 6371000     		dl = 224.259200000083m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74621691--0.74625211) × R
    3.5200000000013e-05 × 6371000     		dr = 224.259200000083m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.62835688-0.62840482) × cos(-0.74621691) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.734262327624382 × 6371000     		do = 224.262614768652m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.62835688-0.62840482) × cos(-0.74625211) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.734238431091786 × 6371000     		du = 224.255316152501m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74621691)-sin(-0.74625211))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.734262327624382-0.734238431091786)×R²
    abs(0.62840482-0.62835688)×2.38965325962681e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38965325962681e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38965325962681e-05×40589641000000     		ar = 50292.1361923938m²