Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78643 / 82790
↖ ↑ ↗
← S 42.759113°
E 35.999450°		 ← 224.25 m → S 42.759113°
E 36.002197°		 →
↑
224.26 m
↓
↑
224.26 m
↓
S 42.761129°
E 35.999450°		 ← 224.24 m →
50 289 m²		 S 42.761129°
E 36.002197°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78643 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82790 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.600002288818359 y=0.631641387939453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.600002288818359 × 217)
    floor (0.600002288818359 × 131072)
    floor (78643.5)     		tx = 78643
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631641387939453 × 217)
    floor (0.631641387939453 × 131072)
    floor (82790.5)     		ty = 82790
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78643 / 82790 ti = "17/78643/82790"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78643/82790.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78643 ÷ 217
    78643 ÷ 131072     		x = 0.599998474121094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82790 ÷ 217
    82790 ÷ 131072     		y = 0.631637573242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.599998474121094 × 2 - 1) × π
    0.199996948242188 × 3.1415926535     		Λ = 0.62830894
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.631637573242188 × 2 - 1) × π
    -0.263275146484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.827103266044449
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.62830894} λ = 0.62830894}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.827103266044449))-π/2
    2×atan(0.437314236322804)-π/2
    2×0.41225451128529-π/2
    0.824509022570579-1.57079632675     		φ = -0.74628730
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.62830894} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.999450°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74628730 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.759113°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78643 KachelY 82790 0.62830894 -0.74628730 35.999450 -42.759113
    Oben rechts KachelX + 1 78644 KachelY 82790 0.62835688 -0.74628730 36.002197 -42.759113
    Unten links KachelX 78643 KachelY + 1 82791 0.62830894 -0.74632250 35.999450 -42.761129
    Unten rechts KachelX + 1 78644 KachelY + 1 82791 0.62835688 -0.74632250 36.002197 -42.761129
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74628730--0.74632250) × R
    3.5200000000013e-05 × 6371000     		dl = 224.259200000083m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74628730--0.74632250) × R
    3.5200000000013e-05 × 6371000     		dr = 224.259200000083m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.62830894-0.62835688) × cos(-0.74628730) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.734214540438614 × 6371000     		do = 224.248019332077m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.62830894-0.62835688) × cos(-0.74632250) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.734190642086805 × 6371000     		du = 224.24072016029m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74628730)-sin(-0.74632250))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.734214540438614-0.734190642086805)×R²
    abs(0.62835688-0.62830894)×2.38983518097147e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38983518097147e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38983518097147e-05×40589641000000     		ar = 50288.8629688961m²