Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7864 / 4950
↖ ↑ ↗
← N 57.821355°
W  7.207031°		 ← 1 301.16 m → N 57.821355°
W  7.185059°		 →
↑
1 301.34 m
↓
↑
1 301.34 m
↓
N 57.809652°
W  7.207031°		 ← 1 301.58 m →
1 693 528 m²		 N 57.809652°
W  7.185059°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7864 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4950 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480010986328125 y=0.302154541015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480010986328125 × 214)
    floor (0.480010986328125 × 16384)
    floor (7864.5)     		tx = 7864
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.302154541015625 × 214)
    floor (0.302154541015625 × 16384)
    floor (4950.5)     		ty = 4950
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7864 / 4950 ti = "14/7864/4950"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7864/4950.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7864 ÷ 214
    7864 ÷ 16384     		x = 0.47998046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4950 ÷ 214
    4950 ÷ 16384     		y = 0.3021240234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47998046875 × 2 - 1) × π
    -0.0400390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.12578642
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3021240234375 × 2 - 1) × π
    0.395751953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.24329142854578
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12578642} λ = -0.12578642}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24329142854578))-π/2
    2×atan(3.46700610831468)-π/2
    2×1.28998467505441-π/2
    2.57996935010882-1.57079632675     		φ = 1.00917302
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12578642} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.207031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00917302 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.821355°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7864 KachelY 4950 -0.12578642 1.00917302 -7.207031 57.821355
    Oben rechts KachelX + 1 7865 KachelY 4950 -0.12540293 1.00917302 -7.185059 57.821355
    Unten links KachelX 7864 KachelY + 1 4951 -0.12578642 1.00896876 -7.207031 57.809652
    Unten rechts KachelX + 1 7865 KachelY + 1 4951 -0.12540293 1.00896876 -7.185059 57.809652
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00917302-1.00896876) × R
    0.000204260000000067 × 6371000     		dl = 1301.34046000043m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00917302-1.00896876) × R
    0.000204260000000067 × 6371000     		dr = 1301.34046000043m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12578642--0.12540293) × cos(1.00917302) × R
    0.000383490000000014 × 0.532560852424716 × 6371000     		do = 1301.16055121912m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12578642--0.12540293) × cos(1.00896876) × R
    0.000383490000000014 × 0.53273372528582 × 6371000     		du = 1301.58291675016m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00917302)-sin(1.00896876))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.532560852424716-0.53273372528582)×R²
    abs(-0.12540293--0.12578642)×0.000172872861104012×R²
    0.000383490000000014×0.000172872861104012×6371000²
    0.000383490000000014×0.000172872861104012×40589641000000     		ar = 1693527.69682287m²