Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7864 / 3320
↖ ↑ ↗
← N 72.448791°
W  7.207031°		 ← 736.77 m → N 72.448791°
W  7.185059°		 →
↑
736.93 m
↓
↑
736.93 m
↓
N 72.442164°
W  7.207031°		 ← 737.04 m →
543 051 m²		 N 72.442164°
W  7.185059°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7864 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3320 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480010986328125 y=0.202667236328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480010986328125 × 214)
    floor (0.480010986328125 × 16384)
    floor (7864.5)     		tx = 7864
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.202667236328125 × 214)
    floor (0.202667236328125 × 16384)
    floor (3320.5)     		ty = 3320
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7864 / 3320 ti = "14/7864/3320"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7864/3320.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7864 ÷ 214
    7864 ÷ 16384     		x = 0.47998046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3320 ÷ 214
    3320 ÷ 16384     		y = 0.20263671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47998046875 × 2 - 1) × π
    -0.0400390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.12578642
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20263671875 × 2 - 1) × π
    0.5947265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.86838859959131
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12578642} λ = -0.12578642}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.86838859959131))-π/2
    2×atan(6.47784957508611)-π/2
    2×1.41763313927243-π/2
    2.83526627854486-1.57079632675     		φ = 1.26446995
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12578642} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.207031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26446995 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.448791°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7864 KachelY 3320 -0.12578642 1.26446995 -7.207031 72.448791
    Oben rechts KachelX + 1 7865 KachelY 3320 -0.12540293 1.26446995 -7.185059 72.448791
    Unten links KachelX 7864 KachelY + 1 3321 -0.12578642 1.26435428 -7.207031 72.442164
    Unten rechts KachelX + 1 7865 KachelY + 1 3321 -0.12540293 1.26435428 -7.185059 72.442164
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26446995-1.26435428) × R
    0.000115670000000012 × 6371000     		dl = 736.933570000077m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26446995-1.26435428) × R
    0.000115670000000012 × 6371000     		dr = 736.933570000077m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12578642--0.12540293) × cos(1.26446995) × R
    0.000383490000000014 × 0.30155807115291 × 6371000     		do = 736.771139484688m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12578642--0.12540293) × cos(1.26435428) × R
    0.000383490000000014 × 0.301668354443693 × 6371000     		du = 737.04058525182m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26446995)-sin(1.26435428))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.30155807115291-0.301668354443693)×R²
    abs(-0.12540293--0.12578642)×0.00011028329078322×R²
    0.000383490000000014×0.00011028329078322×6371000²
    0.000383490000000014×0.00011028329078322×40589641000000     		ar = 543050.668514762m²