Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78636 / 84014
↖ ↑ ↗
← S 45.178165°
E 35.980225°		 ← 215.25 m → S 45.178165°
E 35.982971°		 →
↑
215.28 m
↓
↑
215.28 m
↓
S 45.180101°
E 35.980225°		 ← 215.24 m →
46 338 m²		 S 45.180101°
E 35.982971°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78636 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84014 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.599948883056641 y=0.640979766845703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.599948883056641 × 217)
    floor (0.599948883056641 × 131072)
    floor (78636.5)     		tx = 78636
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640979766845703 × 217)
    floor (0.640979766845703 × 131072)
    floor (84014.5)     		ty = 84014
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78636 / 84014 ti = "17/78636/84014"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78636/84014.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78636 ÷ 217
    78636 ÷ 131072     		x = 0.599945068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84014 ÷ 217
    84014 ÷ 131072     		y = 0.640975952148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.599945068359375 × 2 - 1) × π
    0.19989013671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.62797339
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.640975952148438 × 2 - 1) × π
    -0.281951904296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.885778031179398
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.62797339} λ = 0.62797339}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.885778031179398))-π/2
    2×atan(0.412393193666324)-π/2
    2×0.391144300415548-π/2
    0.782288600831096-1.57079632675     		φ = -0.78850773
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.62797339} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.980225°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78850773 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.178165°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78636 KachelY 84014 0.62797339 -0.78850773 35.980225 -45.178165
    Oben rechts KachelX + 1 78637 KachelY 84014 0.62802132 -0.78850773 35.982971 -45.178165
    Unten links KachelX 78636 KachelY + 1 84015 0.62797339 -0.78854152 35.980225 -45.180101
    Unten rechts KachelX + 1 78637 KachelY + 1 84015 0.62802132 -0.78854152 35.982971 -45.180101
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78850773--0.78854152) × R
    3.37900000000335e-05 × 6371000     		dl = 215.276090000214m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78850773--0.78854152) × R
    3.37900000000335e-05 × 6371000     		dr = 215.276090000214m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.62797339-0.62802132) × cos(-0.78850773) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.704904570450862 × 6371000     		do = 215.251090589285m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.62797339-0.62802132) × cos(-0.78854152) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.704880602728644 × 6371000     		du = 215.243771756974m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78850773)-sin(-0.78854152))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.704904570450862-0.704880602728644)×R²
    abs(0.62802132-0.62797339)×2.39677222176882e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39677222176882e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39677222176882e-05×40589641000000     		ar = 46337.625370118m²