Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78634 / 82722
↖ ↑ ↗
← S 42.621834°
E 35.974731°		 ← 224.74 m → S 42.621834°
E 35.977478°		 →
↑
224.71 m
↓
↑
224.71 m
↓
S 42.623854°
E 35.974731°		 ← 224.74 m →
50 500 m²		 S 42.623854°
E 35.977478°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78634 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82722 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.599933624267578 y=0.631122589111328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.599933624267578 × 217)
    floor (0.599933624267578 × 131072)
    floor (78634.5)     		tx = 78634
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631122589111328 × 217)
    floor (0.631122589111328 × 131072)
    floor (82722.5)     		ty = 82722
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78634 / 82722 ti = "17/78634/82722"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78634/82722.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78634 ÷ 217
    78634 ÷ 131072     		x = 0.599929809570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82722 ÷ 217
    82722 ÷ 131072     		y = 0.631118774414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.599929809570312 × 2 - 1) × π
    0.199859619140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.62787751
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.631118774414062 × 2 - 1) × π
    -0.262237548828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.823843556870285
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.62787751} λ = 0.62787751}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.823843556870285))-π/2
    2×atan(0.438742079463311)-π/2
    2×0.41345249820066-π/2
    0.826904996401319-1.57079632675     		φ = -0.74389133
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.62787751} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.974731°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74389133 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.621834°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78634 KachelY 82722 0.62787751 -0.74389133 35.974731 -42.621834
    Oben rechts KachelX + 1 78635 KachelY 82722 0.62792545 -0.74389133 35.977478 -42.621834
    Unten links KachelX 78634 KachelY + 1 82723 0.62787751 -0.74392660 35.974731 -42.623854
    Unten rechts KachelX + 1 78635 KachelY + 1 82723 0.62792545 -0.74392660 35.977478 -42.623854
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74389133--0.74392660) × R
    3.52700000000317e-05 × 6371000     		dl = 224.705170000202m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74389133--0.74392660) × R
    3.52700000000317e-05 × 6371000     		dr = 224.705170000202m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.62787751-0.62792545) × cos(-0.74389133) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.735839097468162 × 6371000     		do = 224.744200864998m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.62787751-0.62792545) × cos(-0.74392660) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.735815213703409 × 6371000     		du = 224.736906148474m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74389133)-sin(-0.74392660))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.735839097468162-0.735815213703409)×R²
    abs(0.62792545-0.62787751)×2.38837647533741e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38837647533741e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38837647533741e-05×40589641000000     		ar = 50500.3642869468m²