Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78633 / 83981
↖ ↑ ↗
← S 45.114238°
E 35.971985°		 ← 215.54 m → S 45.114238°
E 35.974731°		 →
↑
215.53 m
↓
↑
215.53 m
↓
S 45.116177°
E 35.971985°		 ← 215.53 m →
46 454 m²		 S 45.116177°
E 35.974731°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78633 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83981 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.599925994873047 y=0.640727996826172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.599925994873047 × 217)
    floor (0.599925994873047 × 131072)
    floor (78633.5)     		tx = 78633
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640727996826172 × 217)
    floor (0.640727996826172 × 131072)
    floor (83981.5)     		ty = 83981
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78633 / 83981 ti = "17/78633/83981"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78633/83981.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78633 ÷ 217
    78633 ÷ 131072     		x = 0.599922180175781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83981 ÷ 217
    83981 ÷ 131072     		y = 0.640724182128906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.599922180175781 × 2 - 1) × π
    0.199844360351562 × 3.1415926535     		Λ = 0.62782957
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.640724182128906 × 2 - 1) × π
    -0.281448364257812 × 3.1415926535     		Φ = -0.884196113491936
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.62782957} λ = 0.62782957}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.884196113491936))-π/2
    2×atan(0.413046082025243)-π/2
    2×0.391702163725011-π/2
    0.783404327450021-1.57079632675     		φ = -0.78739200
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.62782957} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.971985°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78739200 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.114238°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78633 KachelY 83981 0.62782957 -0.78739200 35.971985 -45.114238
    Oben rechts KachelX + 1 78634 KachelY 83981 0.62787751 -0.78739200 35.974731 -45.114238
    Unten links KachelX 78633 KachelY + 1 83982 0.62782957 -0.78742583 35.971985 -45.116177
    Unten rechts KachelX + 1 78634 KachelY + 1 83982 0.62787751 -0.78742583 35.974731 -45.116177
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78739200--0.78742583) × R
    3.38300000000125e-05 × 6371000     		dl = 215.530930000079m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78739200--0.78742583) × R
    3.38300000000125e-05 × 6371000     		dr = 215.530930000079m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.62782957-0.62787751) × cos(-0.78739200) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.705695521228258 × 6371000     		do = 215.537576786184m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.62782957-0.62787751) × cos(-0.78742583) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.705671551754204 × 6371000     		du = 215.530255891834m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78739200)-sin(-0.78742583))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.705695521228258-0.705671551754204)×R²
    abs(0.62787751-0.62782957)×2.39694740538088e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.39694740538088e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.39694740538088e-05×40589641000000     		ar = 46454.2254394534m²