Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78632 / 84024
↖ ↑ ↗
← S 45.197522°
E 35.969238°		 ← 215.18 m → S 45.197522°
E 35.971985°		 →
↑
215.21 m
↓
↑
215.21 m
↓
S 45.199458°
E 35.969238°		 ← 215.17 m →
46 308 m²		 S 45.199458°
E 35.971985°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78632 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84024 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.599918365478516 y=0.641056060791016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.599918365478516 × 217)
    floor (0.599918365478516 × 131072)
    floor (78632.5)     		tx = 78632
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641056060791016 × 217)
    floor (0.641056060791016 × 131072)
    floor (84024.5)     		ty = 84024
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78632 / 84024 ti = "17/78632/84024"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78632/84024.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78632 ÷ 217
    78632 ÷ 131072     		x = 0.59991455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84024 ÷ 217
    84024 ÷ 131072     		y = 0.64105224609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59991455078125 × 2 - 1) × π
    0.1998291015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.62778164
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64105224609375 × 2 - 1) × π
    -0.2821044921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.886257400175598
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.62778164} λ = 0.62778164}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.886257400175598))-π/2
    2×atan(0.412195552530338)-π/2
    2×0.390975374440417-π/2
    0.781950748880834-1.57079632675     		φ = -0.78884558
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.62778164} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.969238°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78884558 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.197522°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78632 KachelY 84024 0.62778164 -0.78884558 35.969238 -45.197522
    Oben rechts KachelX + 1 78633 KachelY 84024 0.62782957 -0.78884558 35.971985 -45.197522
    Unten links KachelX 78632 KachelY + 1 84025 0.62778164 -0.78887936 35.969238 -45.199458
    Unten rechts KachelX + 1 78633 KachelY + 1 84025 0.62782957 -0.78887936 35.971985 -45.199458
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78884558--0.78887936) × R
    3.37799999999833e-05 × 6371000     		dl = 215.212379999893m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78884558--0.78887936) × R
    3.37799999999833e-05 × 6371000     		dr = 215.212379999893m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.62778164-0.62782957) × cos(-0.78884558) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.704664892492653 × 6371000     		do = 215.177902040921m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.62778164-0.62782957) × cos(-0.78887936) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.704640923820424 × 6371000     		du = 215.170582918513m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78884558)-sin(-0.78887936))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.704664892492653-0.704640923820424)×R²
    abs(0.62782957-0.62778164)×2.39686722284249e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.39686722284249e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.39686722284249e-05×40589641000000     		ar = 46308.1608430919m²