Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78631 / 82723
↖ ↑ ↗
← S 42.623854°
E 35.966492°		 ← 224.74 m → S 42.623854°
E 35.969238°		 →
↑
224.77 m
↓
↑
224.77 m
↓
S 42.625876°
E 35.966492°		 ← 224.73 m →
50 513 m²		 S 42.625876°
E 35.969238°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78631 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82723 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.599910736083984 y=0.631130218505859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.599910736083984 × 217)
    floor (0.599910736083984 × 131072)
    floor (78631.5)     		tx = 78631
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631130218505859 × 217)
    floor (0.631130218505859 × 131072)
    floor (82723.5)     		ty = 82723
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78631 / 82723 ti = "17/78631/82723"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78631/82723.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78631 ÷ 217
    78631 ÷ 131072     		x = 0.599906921386719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82723 ÷ 217
    82723 ÷ 131072     		y = 0.631126403808594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.599906921386719 × 2 - 1) × π
    0.199813842773438 × 3.1415926535     		Λ = 0.62773370
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.631126403808594 × 2 - 1) × π
    -0.262252807617188 × 3.1415926535     		Φ = -0.823891493769905
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.62773370} λ = 0.62773370}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.823891493769905))-π/2
    2×atan(0.438721048032383)-π/2
    2×0.413434861564445-π/2
    0.82686972312889-1.57079632675     		φ = -0.74392660
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.62773370} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.966492°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74392660 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.623854°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78631 KachelY 82723 0.62773370 -0.74392660 35.966492 -42.623854
    Oben rechts KachelX + 1 78632 KachelY 82723 0.62778164 -0.74392660 35.969238 -42.623854
    Unten links KachelX 78631 KachelY + 1 82724 0.62773370 -0.74396188 35.966492 -42.625876
    Unten rechts KachelX + 1 78632 KachelY + 1 82724 0.62778164 -0.74396188 35.969238 -42.625876
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74392660--0.74396188) × R
    3.52799999999709e-05 × 6371000     		dl = 224.768879999815m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74392660--0.74396188) × R
    3.52799999999709e-05 × 6371000     		dr = 224.768879999815m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.62773370-0.62778164) × cos(-0.74392660) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.735815213703409 × 6371000     		do = 224.736906148995m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.62773370-0.62778164) × cos(-0.74396188) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.735791322251238 × 6371000     		du = 224.729609084536m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74392660)-sin(-0.74396188))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.735815213703409-0.735791322251238)×R²
    abs(0.62778164-0.62773370)×2.38914521708544e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.38914521708544e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.38914521708544e-05×40589641000000     		ar = 50513.0426185008m²