Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7863 / 9878
↖ ↑ ↗
← S 34.705493°
W  7.229004°		 ← 2 008.59 m → S 34.705493°
W  7.207031°		 →
↑
2 008.33 m
↓
↑
2 008.33 m
↓
S 34.723555°
W  7.229004°		 ← 2 008.15 m →
4 033 479 m²		 S 34.723555°
W  7.207031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7863 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9878 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479949951171875 y=0.602935791015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479949951171875 × 214)
    floor (0.479949951171875 × 16384)
    floor (7863.5)     		tx = 7863
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.602935791015625 × 214)
    floor (0.602935791015625 × 16384)
    floor (9878.5)     		ty = 9878
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7863 / 9878 ti = "14/7863/9878"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7863/9878.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7863 ÷ 214
    7863 ÷ 16384     		x = 0.47991943359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9878 ÷ 214
    9878 ÷ 16384     		y = 0.6029052734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47991943359375 × 2 - 1) × π
    -0.0401611328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.12616992
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6029052734375 × 2 - 1) × π
    -0.205810546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.646572902075317
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12616992} λ = -0.12616992}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.646572902075317))-π/2
    2×atan(0.523837947978185)-π/2
    2×0.48253559913623-π/2
    0.96507119827246-1.57079632675     		φ = -0.60572513
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12616992} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.229004°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60572513 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.705493°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7863 KachelY 9878 -0.12616992 -0.60572513 -7.229004 -34.705493
    Oben rechts KachelX + 1 7864 KachelY 9878 -0.12578642 -0.60572513 -7.207031 -34.705493
    Unten links KachelX 7863 KachelY + 1 9879 -0.12616992 -0.60604036 -7.229004 -34.723555
    Unten rechts KachelX + 1 7864 KachelY + 1 9879 -0.12578642 -0.60604036 -7.207031 -34.723555
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60572513--0.60604036) × R
    0.00031523 × 6371000     		dl = 2008.33033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60572513--0.60604036) × R
    0.00031523 × 6371000     		dr = 2008.33033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12616992--0.12578642) × cos(-0.60572513) × R
    0.000383499999999981 × 0.822089454982815 × 6371000     		do = 2008.59349043613m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12616992--0.12578642) × cos(-0.60604036) × R
    0.000383499999999981 × 0.821909935308372 × 6371000     		du = 2008.15487387524m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60572513)-sin(-0.60604036))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.822089454982815-0.821909935308372)×R²
    abs(-0.12578642--0.12616992)×0.000179519674443074×R²
    0.000383499999999981×0.000179519674443074×6371000²
    0.000383499999999981×0.000179519674443074×40589641000000     		ar = 4033478.81741279m²