Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7863 / 3736
↖ ↑ ↗
← N 69.472968°
W  7.229004°		 ← 856.73 m → N 69.472968°
W  7.207031°		 →
↑
856.84 m
↓
↑
856.84 m
↓
N 69.465263°
W  7.229004°		 ← 857.04 m →
734 212 m²		 N 69.465263°
W  7.207031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7863 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3736 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479949951171875 y=0.228057861328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479949951171875 × 214)
    floor (0.479949951171875 × 16384)
    floor (7863.5)     		tx = 7863
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.228057861328125 × 214)
    floor (0.228057861328125 × 16384)
    floor (3736.5)     		ty = 3736
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7863 / 3736 ti = "14/7863/3736"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7863/3736.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7863 ÷ 214
    7863 ÷ 16384     		x = 0.47991943359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3736 ÷ 214
    3736 ÷ 16384     		y = 0.22802734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47991943359375 × 2 - 1) × π
    -0.0401611328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.12616992
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22802734375 × 2 - 1) × π
    0.5439453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.70885459765576
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12616992} λ = -0.12616992}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.70885459765576))-π/2
    2×atan(5.52263221765291)-π/2
    2×1.39166418447987-π/2
    2.78332836895974-1.57079632675     		φ = 1.21253204
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12616992} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.229004°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21253204 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.472968°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7863 KachelY 3736 -0.12616992 1.21253204 -7.229004 69.472968
    Oben rechts KachelX + 1 7864 KachelY 3736 -0.12578642 1.21253204 -7.207031 69.472968
    Unten links KachelX 7863 KachelY + 1 3737 -0.12616992 1.21239755 -7.229004 69.465263
    Unten rechts KachelX + 1 7864 KachelY + 1 3737 -0.12578642 1.21239755 -7.207031 69.465263
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21253204-1.21239755) × R
    0.000134489999999987 × 6371000     		dl = 856.835789999918m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21253204-1.21239755) × R
    0.000134489999999987 × 6371000     		dr = 856.835789999918m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12616992--0.12578642) × cos(1.21253204) × R
    0.000383499999999981 × 0.350649254967064 × 6371000     		do = 856.733785702004m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12616992--0.12578642) × cos(1.21239755) × R
    0.000383499999999981 × 0.350775202603175 × 6371000     		du = 857.041510853439m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21253204)-sin(1.21239755))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.350649254967064-0.350775202603175)×R²
    abs(-0.12578642--0.12616992)×0.000125947636110568×R²
    0.000383499999999981×0.000125947636110568×6371000²
    0.000383499999999981×0.000125947636110568×40589641000000     		ar = 734212.006159279m²