Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78629 / 82725
↖ ↑ ↗
← S 42.627897°
E 35.960999°		 ← 224.68 m → S 42.627897°
E 35.963745°		 →
↑
224.71 m
↓
↑
224.71 m
↓
S 42.629917°
E 35.960999°		 ← 224.67 m →
50 485 m²		 S 42.629917°
E 35.963745°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78629 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82725 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.599895477294922 y=0.631145477294922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.599895477294922 × 217)
    floor (0.599895477294922 × 131072)
    floor (78629.5)     		tx = 78629
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631145477294922 × 217)
    floor (0.631145477294922 × 131072)
    floor (82725.5)     		ty = 82725
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78629 / 82725 ti = "17/78629/82725"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78629/82725.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78629 ÷ 217
    78629 ÷ 131072     		x = 0.599891662597656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82725 ÷ 217
    82725 ÷ 131072     		y = 0.631141662597656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.599891662597656 × 2 - 1) × π
    0.199783325195312 × 3.1415926535     		Λ = 0.62763783
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.631141662597656 × 2 - 1) × π
    -0.262283325195312 × 3.1415926535     		Φ = -0.823987367569145
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.62763783} λ = 0.62763783}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.823987367569145))-π/2
    2×atan(0.438678988194952)-π/2
    2×0.413399590009553-π/2
    0.826799180019107-1.57079632675     		φ = -0.74399715
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.62763783} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.960999°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74399715 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.627897°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78629 KachelY 82725 0.62763783 -0.74399715 35.960999 -42.627897
    Oben rechts KachelX + 1 78630 KachelY 82725 0.62768576 -0.74399715 35.963745 -42.627897
    Unten links KachelX 78629 KachelY + 1 82726 0.62763783 -0.74403242 35.960999 -42.629917
    Unten rechts KachelX + 1 78630 KachelY + 1 82726 0.62768576 -0.74403242 35.963745 -42.629917
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74399715--0.74403242) × R
    3.52700000000317e-05 × 6371000     		dl = 224.705170000202m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74399715--0.74403242) × R
    3.52700000000317e-05 × 6371000     		dr = 224.705170000202m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.62763783-0.62768576) × cos(-0.74399715) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.735767436655587 × 6371000     		do = 224.675438065184m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.62763783-0.62768576) × cos(-0.74403242) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.73574355014466 × 6371000     		du = 224.668144031718m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74399715)-sin(-0.74403242))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.735767436655587-0.73574355014466)×R²
    abs(0.62768576-0.62763783)×2.38865109263298e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.38865109263298e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.38865109263298e-05×40589641000000     		ar = 50484.9130070439m²