Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7862 / 9877
↖ ↑ ↗
← S 34.687428°
W  7.250976°		 ← 2 008.98 m → S 34.687428°
W  7.229004°		 →
↑
2 008.78 m
↓
↑
2 008.78 m
↓
S 34.705493°
W  7.250976°		 ← 2 008.54 m →
4 035 150 m²		 S 34.705493°
W  7.229004°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7862 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9877 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479888916015625 y=0.602874755859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479888916015625 × 214)
    floor (0.479888916015625 × 16384)
    floor (7862.5)     		tx = 7862
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.602874755859375 × 214)
    floor (0.602874755859375 × 16384)
    floor (9877.5)     		ty = 9877
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7862 / 9877 ti = "14/7862/9877"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7862/9877.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7862 ÷ 214
    7862 ÷ 16384     		x = 0.4798583984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9877 ÷ 214
    9877 ÷ 16384     		y = 0.60284423828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4798583984375 × 2 - 1) × π
    -0.040283203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.12655341
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.60284423828125 × 2 - 1) × π
    -0.2056884765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.646189406878357
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12655341} λ = -0.12655341}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.646189406878357))-π/2
    2×atan(0.524038875840193)-π/2
    2×0.482693250023117-π/2
    0.965386500046235-1.57079632675     		φ = -0.60540983
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12655341} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.250976°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60540983 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.687428°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7862 KachelY 9877 -0.12655341 -0.60540983 -7.250976 -34.687428
    Oben rechts KachelX + 1 7863 KachelY 9877 -0.12616992 -0.60540983 -7.229004 -34.687428
    Unten links KachelX 7862 KachelY + 1 9878 -0.12655341 -0.60572513 -7.250976 -34.705493
    Unten rechts KachelX + 1 7863 KachelY + 1 9878 -0.12616992 -0.60572513 -7.229004 -34.705493
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60540983--0.60572513) × R
    0.000315299999999907 × 6371000     		dl = 2008.77629999941m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60540983--0.60572513) × R
    0.000315299999999907 × 6371000     		dr = 2008.77629999941m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12655341--0.12616992) × cos(-0.60540983) × R
    0.000383490000000014 × 0.822268932803208 × 6371000     		do = 2008.97961798239m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12655341--0.12616992) × cos(-0.60572513) × R
    0.000383490000000014 × 0.822089454982815 × 6371000     		du = 2008.54111511713m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60540983)-sin(-0.60572513))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.822268932803208-0.822089454982815)×R²
    abs(-0.12616992--0.12655341)×0.000179477820393292×R²
    0.000383490000000014×0.000179477820393292×6371000²
    0.000383490000000014×0.000179477820393292×40589641000000     		ar = 4035150.2501333m²