Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7862 / 3334
↖ ↑ ↗
← N 72.355790°
W  7.250976°		 ← 740.55 m → N 72.355790°
W  7.229004°		 →
↑
740.69 m
↓
↑
740.69 m
↓
N 72.349128°
W  7.250976°		 ← 740.82 m →
548 621 m²		 N 72.349128°
W  7.229004°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7862 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3334 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479888916015625 y=0.203521728515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479888916015625 × 214)
    floor (0.479888916015625 × 16384)
    floor (7862.5)     		tx = 7862
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.203521728515625 × 214)
    floor (0.203521728515625 × 16384)
    floor (3334.5)     		ty = 3334
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7862 / 3334 ti = "14/7862/3334"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7862/3334.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7862 ÷ 214
    7862 ÷ 16384     		x = 0.4798583984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3334 ÷ 214
    3334 ÷ 16384     		y = 0.2034912109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4798583984375 × 2 - 1) × π
    -0.040283203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.12655341
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2034912109375 × 2 - 1) × π
    0.593017578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.86301966683386
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12655341} λ = -0.12655341}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.86301966683386))-π/2
    2×atan(6.44316363287007)-π/2
    2×1.41682154161791-π/2
    2.83364308323581-1.57079632675     		φ = 1.26284676
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12655341} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.250976°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26284676 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.355790°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7862 KachelY 3334 -0.12655341 1.26284676 -7.250976 72.355790
    Oben rechts KachelX + 1 7863 KachelY 3334 -0.12616992 1.26284676 -7.229004 72.355790
    Unten links KachelX 7862 KachelY + 1 3335 -0.12655341 1.26273050 -7.250976 72.349128
    Unten rechts KachelX + 1 7863 KachelY + 1 3335 -0.12616992 1.26273050 -7.229004 72.349128
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26284676-1.26273050) × R
    0.000116259999999979 × 6371000     		dl = 740.692459999867m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26284676-1.26273050) × R
    0.000116259999999979 × 6371000     		dr = 740.692459999867m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12655341--0.12616992) × cos(1.26284676) × R
    0.000383490000000014 × 0.303105300162517 × 6371000     		do = 740.551352284478m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12655341--0.12616992) × cos(1.26273050) × R
    0.000383490000000014 × 0.303216088902766 × 6371000     		du = 740.82203297322m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26284676)-sin(1.26273050))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.303105300162517-0.303216088902766)×R²
    abs(-0.12616992--0.12655341)×0.000110788740249002×R²
    0.000383490000000014×0.000110788740249002×6371000²
    0.000383490000000014×0.000110788740249002×40589641000000     		ar = 548621.049069162m²