Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78616 / 82808
↖ ↑ ↗
← S 42.795401°
E 35.925293°		 ← 224.07 m → S 42.795401°
E 35.928039°		 →
↑
224.07 m
↓
↑
224.07 m
↓
S 42.797416°
E 35.925293°		 ← 224.06 m →
50 206 m²		 S 42.797416°
E 35.928039°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78616 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82808 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.599796295166016 y=0.631778717041016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.599796295166016 × 217)
    floor (0.599796295166016 × 131072)
    floor (78616.5)     		tx = 78616
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631778717041016 × 217)
    floor (0.631778717041016 × 131072)
    floor (82808.5)     		ty = 82808
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78616 / 82808 ti = "17/78616/82808"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78616/82808.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78616 ÷ 217
    78616 ÷ 131072     		x = 0.59979248046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82808 ÷ 217
    82808 ÷ 131072     		y = 0.63177490234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59979248046875 × 2 - 1) × π
    0.1995849609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.62701465
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63177490234375 × 2 - 1) × π
    -0.2635498046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.82796613023761
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.62701465} λ = 0.62701465}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.82796613023761))-π/2
    2×atan(0.436937056278101)-π/2
    2×0.411937840353315-π/2
    0.823875680706631-1.57079632675     		φ = -0.74692065
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.62701465} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.925293°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74692065 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.795401°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78616 KachelY 82808 0.62701465 -0.74692065 35.925293 -42.795401
    Oben rechts KachelX + 1 78617 KachelY 82808 0.62706258 -0.74692065 35.928039 -42.795401
    Unten links KachelX 78616 KachelY + 1 82809 0.62701465 -0.74695582 35.925293 -42.797416
    Unten rechts KachelX + 1 78617 KachelY + 1 82809 0.62706258 -0.74695582 35.928039 -42.797416
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74692065--0.74695582) × R
    3.51700000000843e-05 × 6371000     		dl = 224.068070000537m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74692065--0.74695582) × R
    3.51700000000843e-05 × 6371000     		dr = 224.068070000537m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.62701465-0.62706258) × cos(-0.74692065) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.73378440079302 × 6371000     		do = 224.069894208627m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.62701465-0.62706258) × cos(-0.74695582) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.733760506459998 × 6371000     		du = 224.06259778659m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74692065)-sin(-0.74695582))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.73378440079302-0.733760506459998)×R²
    abs(0.62706258-0.62701465)×2.38943330225228e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.38943330225228e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.38943330225228e-05×40589641000000     		ar = 50206.0912981292m²