Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78616 / 82807
↖ ↑ ↗
← S 42.793385°
E 35.925293°		 ← 224.08 m → S 42.793385°
E 35.928039°		 →
↑
224.13 m
↓
↑
224.13 m
↓
S 42.795401°
E 35.925293°		 ← 224.07 m →
50 222 m²		 S 42.795401°
E 35.928039°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78616 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82807 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.599796295166016 y=0.631771087646484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.599796295166016 × 217)
    floor (0.599796295166016 × 131072)
    floor (78616.5)     		tx = 78616
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631771087646484 × 217)
    floor (0.631771087646484 × 131072)
    floor (82807.5)     		ty = 82807
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78616 / 82807 ti = "17/78616/82807"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78616/82807.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78616 ÷ 217
    78616 ÷ 131072     		x = 0.59979248046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82807 ÷ 217
    82807 ÷ 131072     		y = 0.631767272949219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59979248046875 × 2 - 1) × π
    0.1995849609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.62701465
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.631767272949219 × 2 - 1) × π
    -0.263534545898438 × 3.1415926535     		Φ = -0.82791819333799
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.62701465} λ = 0.62701465}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.82791819333799))-π/2
    2×atan(0.436958002187945)-π/2
    2×0.411955428314354-π/2
    0.823910856628707-1.57079632675     		φ = -0.74688547
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.62701465} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.925293°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74688547 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.793385°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78616 KachelY 82807 0.62701465 -0.74688547 35.925293 -42.793385
    Oben rechts KachelX + 1 78617 KachelY 82807 0.62706258 -0.74688547 35.928039 -42.793385
    Unten links KachelX 78616 KachelY + 1 82808 0.62701465 -0.74692065 35.925293 -42.795401
    Unten rechts KachelX + 1 78617 KachelY + 1 82808 0.62706258 -0.74692065 35.928039 -42.795401
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74688547--0.74692065) × R
    3.51799999999125e-05 × 6371000     		dl = 224.131779999443m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74688547--0.74692065) × R
    3.51799999999125e-05 × 6371000     		dr = 224.131779999443m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.62701465-0.62706258) × cos(-0.74688547) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.733808301011969 × 6371000     		do = 224.077192428003m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.62701465-0.62706258) × cos(-0.74692065) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.73378440079302 × 6371000     		du = 224.069894208627m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74688547)-sin(-0.74692065))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.733808301011969-0.73378440079302)×R²
    abs(0.62706258-0.62701465)×2.39002189493798e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39002189493798e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39002189493798e-05×40589641000000     		ar = 50222.0021199346m²