Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78612 / 82716
↖ ↑ ↗
← S 42.609706°
E 35.914307°		 ← 224.79 m → S 42.609706°
E 35.917053°		 →
↑
224.77 m
↓
↑
224.77 m
↓
S 42.611728°
E 35.914307°		 ← 224.78 m →
50 525 m²		 S 42.611728°
E 35.917053°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78612 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82716 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.599765777587891 y=0.631076812744141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.599765777587891 × 217)
    floor (0.599765777587891 × 131072)
    floor (78612.5)     		tx = 78612
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631076812744141 × 217)
    floor (0.631076812744141 × 131072)
    floor (82716.5)     		ty = 82716
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78612 / 82716 ti = "17/78612/82716"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78612/82716.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78612 ÷ 217
    78612 ÷ 131072     		x = 0.599761962890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82716 ÷ 217
    82716 ÷ 131072     		y = 0.631072998046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.599761962890625 × 2 - 1) × π
    0.19952392578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.62682290
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.631072998046875 × 2 - 1) × π
    -0.26214599609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.823555935472565
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.62682290} λ = 0.62682290}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.823555935472565))-π/2
    2×atan(0.438868289222888)-π/2
    2×0.413558330040504-π/2
    0.827116660081009-1.57079632675     		φ = -0.74367967
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.62682290} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.914307°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74367967 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.609706°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78612 KachelY 82716 0.62682290 -0.74367967 35.914307 -42.609706
    Oben rechts KachelX + 1 78613 KachelY 82716 0.62687084 -0.74367967 35.917053 -42.609706
    Unten links KachelX 78612 KachelY + 1 82717 0.62682290 -0.74371495 35.914307 -42.611728
    Unten rechts KachelX + 1 78613 KachelY + 1 82717 0.62687084 -0.74371495 35.917053 -42.611728
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74367967--0.74371495) × R
    3.52799999999709e-05 × 6371000     		dl = 224.768879999815m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74367967--0.74371495) × R
    3.52799999999709e-05 × 6371000     		dr = 224.768879999815m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.62682290-0.62687084) × cos(-0.74367967) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.735982407913028 × 6371000     		do = 224.787971564192m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.62682290-0.62687084) × cos(-0.74371495) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.735958522871676 × 6371000     		du = 224.780676457762m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74367967)-sin(-0.74371495))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.735982407913028-0.735958522871676)×R²
    abs(0.62687084-0.62682290)×2.38850413523117e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.38850413523117e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.38850413523117e-05×40589641000000     		ar = 50524.5207545945m²