Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 7861 / 8615
↖ ↑ ↗
← N 78.725985°
W136.818237°		 ← 119.42 m → N 78.725985°
W136.812744°		 →
↑
119.39 m
↓
↑
119.39 m
↓
N 78.724912°
W136.818237°		 ← 119.43 m →
14 259 m²		 N 78.724912°
W136.812744°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7861 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8615 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.119956970214844 y=0.131462097167969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.119956970214844 × 216)
    floor (0.119956970214844 × 65536)
    floor (7861.5)     		tx = 7861
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.131462097167969 × 216)
    floor (0.131462097167969 × 65536)
    floor (8615.5)     		ty = 8615
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 7861 / 8615 ti = "16/7861/8615"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/7861/8615.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7861 ÷ 216
    7861 ÷ 65536     		x = 0.119949340820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8615 ÷ 216
    8615 ÷ 65536     		y = 0.131454467773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.119949340820312 × 2 - 1) × π
    -0.760101318359375 × 3.1415926535     		Λ = -2.38792872
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.131454467773438 × 2 - 1) × π
    0.737091064453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.31563987304643
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.38792872} λ = -2.38792872}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31563987304643))-π/2
    2×atan(10.13140365722)-π/2
    2×1.47241199060454-π/2
    2.94482398120909-1.57079632675     		φ = 1.37402765
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.38792872} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -136.818237°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37402765 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.725985°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7861 KachelY 8615 -2.38792872 1.37402765 -136.818237 78.725985
    Oben rechts KachelX + 1 7862 KachelY 8615 -2.38783284 1.37402765 -136.812744 78.725985
    Unten links KachelX 7861 KachelY + 1 8616 -2.38792872 1.37400891 -136.818237 78.724912
    Unten rechts KachelX + 1 7862 KachelY + 1 8616 -2.38783284 1.37400891 -136.812744 78.724912
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37402765-1.37400891) × R
    1.87400000000171e-05 × 6371000     		dl = 119.392540000109m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37402765-1.37400891) × R
    1.87400000000171e-05 × 6371000     		dr = 119.392540000109m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.38792872--2.38783284) × cos(1.37402765) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.19550138723372 × 6371000     		do = 119.422311733693m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.38792872--2.38783284) × cos(1.37400891) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.195519765581573 × 6371000     		du = 119.433538174678m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37402765)-sin(1.37400891))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.19550138723372-0.195519765581573)×R²
    abs(-2.38783284--2.38792872)×1.83783478525379e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.83783478525379e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.83783478525379e-05×40589641000000     		ar = 14258.8033078852m²