Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7861 / 3933
↖ ↑ ↗
← N 67.900354°
W  7.272949°		 ← 919.21 m → N 67.900354°
W  7.250976°		 →
↑
919.34 m
↓
↑
919.34 m
↓
N 67.892086°
W  7.272949°		 ← 919.53 m →
845 209 m²		 N 67.892086°
W  7.250976°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7861 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3933 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479827880859375 y=0.240081787109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479827880859375 × 214)
    floor (0.479827880859375 × 16384)
    floor (7861.5)     		tx = 7861
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.240081787109375 × 214)
    floor (0.240081787109375 × 16384)
    floor (3933.5)     		ty = 3933
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7861 / 3933 ti = "14/7861/3933"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7861/3933.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7861 ÷ 214
    7861 ÷ 16384     		x = 0.47979736328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3933 ÷ 214
    3933 ÷ 16384     		y = 0.24005126953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47979736328125 × 2 - 1) × π
    -0.0404052734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.12693691
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.24005126953125 × 2 - 1) × π
    0.5198974609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.63330604385455
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12693691} λ = -0.12693691}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.63330604385455))-π/2
    2×atan(5.12077627543412)-π/2
    2×1.37794053480851-π/2
    2.75588106961703-1.57079632675     		φ = 1.18508474
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12693691} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.272949°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18508474 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.900354°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7861 KachelY 3933 -0.12693691 1.18508474 -7.272949 67.900354
    Oben rechts KachelX + 1 7862 KachelY 3933 -0.12655341 1.18508474 -7.250976 67.900354
    Unten links KachelX 7861 KachelY + 1 3934 -0.12693691 1.18494044 -7.272949 67.892086
    Unten rechts KachelX + 1 7862 KachelY + 1 3934 -0.12655341 1.18494044 -7.250976 67.892086
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18508474-1.18494044) × R
    0.000144299999999875 × 6371000     		dl = 919.335299999204m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18508474-1.18494044) × R
    0.000144299999999875 × 6371000     		dr = 919.335299999204m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12693691--0.12655341) × cos(1.18508474) × R
    0.000383499999999981 × 0.376218539134802 × 6371000     		do = 919.206667969426m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12693691--0.12655341) × cos(1.18494044) × R
    0.000383499999999981 × 0.37635223363426 × 6371000     		du = 919.533320865519m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18508474)-sin(1.18494044))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.376218539134802-0.37635223363426)×R²
    abs(-0.12655341--0.12693691)×0.000133694499457548×R²
    0.000383499999999981×0.000133694499457548×6371000²
    0.000383499999999981×0.000133694499457548×40589641000000     		ar = 845209.291095033m²