Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7861 / 3332
↖ ↑ ↗
← N 72.369104°
W  7.272949°		 ← 740.03 m → N 72.369104°
W  7.250976°		 →
↑
740.18 m
↓
↑
740.18 m
↓
N 72.362448°
W  7.272949°		 ← 740.30 m →
547 857 m²		 N 72.362448°
W  7.250976°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7861 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3332 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479827880859375 y=0.203399658203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479827880859375 × 214)
    floor (0.479827880859375 × 16384)
    floor (7861.5)     		tx = 7861
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.203399658203125 × 214)
    floor (0.203399658203125 × 16384)
    floor (3332.5)     		ty = 3332
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7861 / 3332 ti = "14/7861/3332"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7861/3332.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7861 ÷ 214
    7861 ÷ 16384     		x = 0.47979736328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3332 ÷ 214
    3332 ÷ 16384     		y = 0.203369140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47979736328125 × 2 - 1) × π
    -0.0404052734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.12693691
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.203369140625 × 2 - 1) × π
    0.59326171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.86378665722778
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12693691} λ = -0.12693691}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.86378665722778))-π/2
    2×atan(6.44810737314123)-π/2
    2×1.41693773857508-π/2
    2.83387547715016-1.57079632675     		φ = 1.26307915
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12693691} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.272949°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26307915 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.369104°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7861 KachelY 3332 -0.12693691 1.26307915 -7.272949 72.369104
    Oben rechts KachelX + 1 7862 KachelY 3332 -0.12655341 1.26307915 -7.250976 72.369104
    Unten links KachelX 7861 KachelY + 1 3333 -0.12693691 1.26296297 -7.272949 72.362448
    Unten rechts KachelX + 1 7862 KachelY + 1 3333 -0.12655341 1.26296297 -7.250976 72.362448
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26307915-1.26296297) × R
    0.000116180000000021 × 6371000     		dl = 740.182780000135m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26307915-1.26296297) × R
    0.000116180000000021 × 6371000     		dr = 740.182780000135m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12693691--0.12655341) × cos(1.26307915) × R
    0.000383499999999981 × 0.302883834286425 × 6371000     		do = 740.029560309549m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12693691--0.12655341) × cos(1.26296297) × R
    0.000383499999999981 × 0.302994554974994 × 6371000     		du = 740.300081787434m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26307915)-sin(1.26296297))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.302883834286425-0.302994554974994)×R²
    abs(-0.12655341--0.12693691)×0.000110720688568378×R²
    0.000383499999999981×0.000110720688568378×6371000²
    0.000383499999999981×0.000110720688568378×40589641000000     		ar = 547857.255519583m²