Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7860 / 9899
↖ ↑ ↗
← S 35.083956°
W  7.294922°		 ← 1 999.36 m → S 35.083956°
W  7.272949°		 →
↑
1 999.09 m
↓
↑
1 999.09 m
↓
S 35.101934°
W  7.294922°		 ← 1 998.92 m →
3 996 467 m²		 S 35.101934°
W  7.272949°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7860 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9899 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479766845703125 y=0.604217529296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479766845703125 × 214)
    floor (0.479766845703125 × 16384)
    floor (7860.5)     		tx = 7860
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.604217529296875 × 214)
    floor (0.604217529296875 × 16384)
    floor (9899.5)     		ty = 9899
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7860 / 9899 ti = "14/7860/9899"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7860/9899.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7860 ÷ 214
    7860 ÷ 16384     		x = 0.479736328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9899 ÷ 214
    9899 ÷ 16384     		y = 0.60418701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479736328125 × 2 - 1) × π
    -0.04052734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.12732041
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.60418701171875 × 2 - 1) × π
    -0.2083740234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.654626301211487
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12732041} λ = -0.12732041}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.654626301211487))-π/2
    2×atan(0.519636213731304)-π/2
    2×0.4792328936642-π/2
    0.958465787328399-1.57079632675     		φ = -0.61233054
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12732041} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.294922°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.61233054 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -35.083956°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7860 KachelY 9899 -0.12732041 -0.61233054 -7.294922 -35.083956
    Oben rechts KachelX + 1 7861 KachelY 9899 -0.12693691 -0.61233054 -7.272949 -35.083956
    Unten links KachelX 7860 KachelY + 1 9900 -0.12732041 -0.61264432 -7.294922 -35.101934
    Unten rechts KachelX + 1 7861 KachelY + 1 9900 -0.12693691 -0.61264432 -7.272949 -35.101934
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.61233054--0.61264432) × R
    0.000313780000000041 × 6371000     		dl = 1999.09238000026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.61233054--0.61264432) × R
    0.000313780000000041 × 6371000     		dr = 1999.09238000026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12732041--0.12693691) × cos(-0.61233054) × R
    0.000383500000000009 × 0.818310702599634 × 6371000     		do = 1999.36094598163m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12732041--0.12693691) × cos(-0.61264432) × R
    0.000383500000000009 × 0.818130309065481 × 6371000     		du = 1998.92019433809m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.61233054)-sin(-0.61264432))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.818310702599634-0.818130309065481)×R²
    abs(-0.12693691--0.12732041)×0.000180393534153001×R²
    0.000383500000000009×0.000180393534153001×6371000²
    0.000383500000000009×0.000180393534153001×40589641000000     		ar = 3996466.71314631m²