Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7860 / 9877
↖ ↑ ↗
← S 34.687428°
W  7.294922°		 ← 2 009.03 m → S 34.687428°
W  7.272949°		 →
↑
2 008.78 m
↓
↑
2 008.78 m
↓
S 34.705493°
W  7.294922°		 ← 2 008.59 m →
4 035 255 m²		 S 34.705493°
W  7.272949°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7860 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9877 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479766845703125 y=0.602874755859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479766845703125 × 214)
    floor (0.479766845703125 × 16384)
    floor (7860.5)     		tx = 7860
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.602874755859375 × 214)
    floor (0.602874755859375 × 16384)
    floor (9877.5)     		ty = 9877
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7860 / 9877 ti = "14/7860/9877"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7860/9877.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7860 ÷ 214
    7860 ÷ 16384     		x = 0.479736328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9877 ÷ 214
    9877 ÷ 16384     		y = 0.60284423828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479736328125 × 2 - 1) × π
    -0.04052734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.12732041
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.60284423828125 × 2 - 1) × π
    -0.2056884765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.646189406878357
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12732041} λ = -0.12732041}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.646189406878357))-π/2
    2×atan(0.524038875840193)-π/2
    2×0.482693250023117-π/2
    0.965386500046235-1.57079632675     		φ = -0.60540983
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12732041} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.294922°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60540983 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.687428°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7860 KachelY 9877 -0.12732041 -0.60540983 -7.294922 -34.687428
    Oben rechts KachelX + 1 7861 KachelY 9877 -0.12693691 -0.60540983 -7.272949 -34.687428
    Unten links KachelX 7860 KachelY + 1 9878 -0.12732041 -0.60572513 -7.294922 -34.705493
    Unten rechts KachelX + 1 7861 KachelY + 1 9878 -0.12693691 -0.60572513 -7.272949 -34.705493
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60540983--0.60572513) × R
    0.000315299999999907 × 6371000     		dl = 2008.77629999941m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60540983--0.60572513) × R
    0.000315299999999907 × 6371000     		dr = 2008.77629999941m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12732041--0.12693691) × cos(-0.60540983) × R
    0.000383500000000009 × 0.822268932803208 × 6371000     		do = 2009.03200473607m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12732041--0.12693691) × cos(-0.60572513) × R
    0.000383500000000009 × 0.822089454982815 × 6371000     		du = 2008.59349043628m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60540983)-sin(-0.60572513))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.822268932803208-0.822089454982815)×R²
    abs(-0.12693691--0.12732041)×0.000179477820393292×R²
    0.000383500000000009×0.000179477820393292×6371000²
    0.000383500000000009×0.000179477820393292×40589641000000     		ar = 4035255.47191869m²