Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7860 / 3329
↖ ↑ ↗
← N 72.389059°
W  7.294922°		 ← 739.22 m → N 72.389059°
W  7.272949°		 →
↑
739.35 m
↓
↑
739.35 m
↓
N 72.382410°
W  7.294922°		 ← 739.49 m →
546 645 m²		 N 72.382410°
W  7.272949°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7860 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3329 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479766845703125 y=0.203216552734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479766845703125 × 214)
    floor (0.479766845703125 × 16384)
    floor (7860.5)     		tx = 7860
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.203216552734375 × 214)
    floor (0.203216552734375 × 16384)
    floor (3329.5)     		ty = 3329
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7860 / 3329 ti = "14/7860/3329"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7860/3329.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7860 ÷ 214
    7860 ÷ 16384     		x = 0.479736328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3329 ÷ 214
    3329 ÷ 16384     		y = 0.20318603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479736328125 × 2 - 1) × π
    -0.04052734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.12732041
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20318603515625 × 2 - 1) × π
    0.5936279296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.86493714281866
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12732041} λ = -0.12732041}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.86493714281866))-π/2
    2×atan(6.45553009681206)-π/2
    2×1.41711187483208-π/2
    2.83422374966417-1.57079632675     		φ = 1.26342742
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12732041} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.294922°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26342742 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.389059°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7860 KachelY 3329 -0.12732041 1.26342742 -7.294922 72.389059
    Oben rechts KachelX + 1 7861 KachelY 3329 -0.12693691 1.26342742 -7.272949 72.389059
    Unten links KachelX 7860 KachelY + 1 3330 -0.12732041 1.26331137 -7.294922 72.382410
    Unten rechts KachelX + 1 7861 KachelY + 1 3330 -0.12693691 1.26331137 -7.272949 72.382410
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26342742-1.26331137) × R
    0.000116049999999923 × 6371000     		dl = 739.35454999951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26342742-1.26331137) × R
    0.000116049999999923 × 6371000     		dr = 739.35454999951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12732041--0.12693691) × cos(1.26342742) × R
    0.000383500000000009 × 0.302551905043017 × 6371000     		do = 739.218564725661m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12732041--0.12693691) × cos(1.26331137) × R
    0.000383500000000009 × 0.302662514079688 × 6371000     		du = 739.488813406865m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26342742)-sin(1.26331137))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.302551905043017-0.302662514079688)×R²
    abs(-0.12693691--0.12732041)×0.000110609036671094×R²
    0.000383500000000009×0.000110609036671094×6371000²
    0.000383500000000009×0.000110609036671094×40589641000000     		ar = 546644.514684465m²