Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 786 / 763
↖ ↑ ↗
← S 65.802776°
E 96.328125°		 ← 16.023 km → S 65.802776°
E 96.679688°		 →
↑
15.978 km
↓
↑
15.978 km
↓
S 65.946472°
E 96.328125°		 ← 15.934 km →
255.304 km²		 S 65.946472°
E 96.679688°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 786 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 763 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.76806640625 y=0.74560546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.76806640625 × 210)
    floor (0.76806640625 × 1024)
    floor (786.5)     		tx = 786
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.74560546875 × 210)
    floor (0.74560546875 × 1024)
    floor (763.5)     		ty = 763
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 786 / 763 ti = "10/786/763"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/786/763.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 786 ÷ 210
    786 ÷ 1024     		x = 0.767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 763 ÷ 210
    763 ÷ 1024     		y = 0.7451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.767578125 × 2 - 1) × π
    0.53515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.68124294
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7451171875 × 2 - 1) × π
    -0.490234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.54011671099316
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68124294} λ = 1.68124294}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54011671099316))-π/2
    2×atan(0.214356082255749)-π/2
    2×0.211160610897234-π/2
    0.422321221794468-1.57079632675     		φ = -1.14847510
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68124294} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.328125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14847510 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.802776°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 786 KachelY 763 1.68124294 -1.14847510 96.328125 -65.802776
    Oben rechts KachelX + 1 787 KachelY 763 1.68737887 -1.14847510 96.679688 -65.802776
    Unten links KachelX 786 KachelY + 1 764 1.68124294 -1.15098306 96.328125 -65.946472
    Unten rechts KachelX + 1 787 KachelY + 1 764 1.68737887 -1.15098306 96.679688 -65.946472
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14847510--1.15098306) × R
    0.00250795999999998 × 6371000     		dl = 15978.2131599998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14847510--1.15098306) × R
    0.00250795999999998 × 6371000     		dr = 15978.2131599998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68124294-1.68737887) × cos(-1.14847510) × R
    0.00613593000000012 × 0.409878839145317 × 6371000     		do = 16022.9876909538m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68124294-1.68737887) × cos(-1.15098306) × R
    0.00613593000000012 × 0.407589941927033 × 6371000     		du = 15933.510097939m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14847510)-sin(-1.15098306))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.409878839145317-0.407589941927033)×R²
    abs(1.68737887-1.68124294)×0.00228889721828385×R²
    0.00613593000000012×0.00228889721828385×6371000²
    0.00613593000000012×0.00228889721828385×40589641000000     		ar = 255304000.577933m²