Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 78598 / 82686
↖ ↑ ↗
← S 42.549034°
E 35.875854°		 ← 225.01 m → S 42.549034°
E 35.878601°		 →
↑
224.96 m
↓
↑
224.96 m
↓
S 42.551057°
E 35.875854°		 ← 225 m →
50 617 m²		 S 42.551057°
E 35.878601°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78598 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82686 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.599658966064453 y=0.630847930908203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.599658966064453 × 217)
    floor (0.599658966064453 × 131072)
    floor (78598.5)     		tx = 78598
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.630847930908203 × 217)
    floor (0.630847930908203 × 131072)
    floor (82686.5)     		ty = 82686
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78598 / 82686 ti = "17/78598/82686"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78598/82686.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78598 ÷ 217
    78598 ÷ 131072     		x = 0.599655151367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82686 ÷ 217
    82686 ÷ 131072     		y = 0.630844116210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.599655151367188 × 2 - 1) × π
    0.199310302734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.62615178
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.630844116210938 × 2 - 1) × π
    -0.261688232421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.822117828483963
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.62615178} λ = 0.62615178}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.822117828483963))-π/2
    2×atan(0.439499882817424)-π/2
    2×0.414087798368571-π/2
    0.828175596737143-1.57079632675     		φ = -0.74262073
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.62615178} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.875854°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74262073 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.549034°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78598 KachelY 82686 0.62615178 -0.74262073 35.875854 -42.549034
    Oben rechts KachelX + 1 78599 KachelY 82686 0.62619972 -0.74262073 35.878601 -42.549034
    Unten links KachelX 78598 KachelY + 1 82687 0.62615178 -0.74265604 35.875854 -42.551057
    Unten rechts KachelX + 1 78599 KachelY + 1 82687 0.62619972 -0.74265604 35.878601 -42.551057
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74262073--0.74265604) × R
    3.53100000000106e-05 × 6371000     		dl = 224.960010000068m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74262073--0.74265604) × R
    3.53100000000106e-05 × 6371000     		dr = 224.960010000068m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.62615178-0.62619972) × cos(-0.74262073) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.736698898210856 × 6371000     		do = 225.006806143088m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.62615178-0.62619972) × cos(-0.74265604) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.7366750203909 × 6371000     		du = 224.999513242258m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74262073)-sin(-0.74265604))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.736698898210856-0.7366750203909)×R²
    abs(0.62619972-0.62615178)×2.3877819955942e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3877819955942e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3877819955942e-05×40589641000000     		ar = 50616.7130598367m²