Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78585 / 59983
↖ ↑ ↗
← N 15.074776°
E 35.840149°		 ← 294.92 m → N 15.074776°
E 35.842896°		 →
↑
294.91 m
↓
↑
294.91 m
↓
N 15.072123°
E 35.840149°		 ← 294.92 m →
86 975 m²		 N 15.072123°
E 35.842896°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78585 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59983 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.599559783935547 y=0.457637786865234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.599559783935547 × 217)
    floor (0.599559783935547 × 131072)
    floor (78585.5)     		tx = 78585
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.457637786865234 × 217)
    floor (0.457637786865234 × 131072)
    floor (59983.5)     		ty = 59983
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78585 / 59983 ti = "17/78585/59983"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78585/59983.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78585 ÷ 217
    78585 ÷ 131072     		x = 0.599555969238281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59983 ÷ 217
    59983 ÷ 131072     		y = 0.457633972167969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.599555969238281 × 2 - 1) × π
    0.199111938476562 × 3.1415926535     		Λ = 0.62552860
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.457633972167969 × 2 - 1) × π
    0.0847320556640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.266193603590172
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.62552860} λ = 0.62552860}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.266193603590172))-π/2
    2×atan(1.30498768453236)-π/2
    2×0.916950397737842-π/2
    1.83390079547568-1.57079632675     		φ = 0.26310447
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.62552860} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.840149°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26310447 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.074776°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78585 KachelY 59983 0.62552860 0.26310447 35.840149 15.074776
    Oben rechts KachelX + 1 78586 KachelY 59983 0.62557654 0.26310447 35.842896 15.074776
    Unten links KachelX 78585 KachelY + 1 59984 0.62552860 0.26305818 35.840149 15.072123
    Unten rechts KachelX + 1 78586 KachelY + 1 59984 0.62557654 0.26305818 35.842896 15.072123
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26310447-0.26305818) × R
    4.62900000000044e-05 × 6371000     		dl = 294.913590000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26310447-0.26305818) × R
    4.62900000000044e-05 × 6371000     		dr = 294.913590000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.62552860-0.62557654) × cos(0.26310447) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.965587223654532 × 6371000     		do = 294.915192319038m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.62552860-0.62557654) × cos(0.26305818) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.96559926169715 × 6371000     		du = 294.918869047112m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26310447)-sin(0.26305818))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.965587223654532-0.96559926169715)×R²
    abs(0.62557654-0.62552860)×1.20380426185118e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.20380426185118e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.20380426185118e-05×40589641000000     		ar = 86975.0402863812m²