Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78582 / 61222
↖ ↑ ↗
← N 11.765193°
E 35.831909°		 ← 299.01 m → N 11.765193°
E 35.834656°		 →
↑
298.99 m
↓
↑
298.99 m
↓
N 11.762504°
E 35.831909°		 ← 299.01 m →
89 402 m²		 N 11.762504°
E 35.834656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78582 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61222 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.599536895751953 y=0.467090606689453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.599536895751953 × 217)
    floor (0.599536895751953 × 131072)
    floor (78582.5)     		tx = 78582
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.467090606689453 × 217)
    floor (0.467090606689453 × 131072)
    floor (61222.5)     		ty = 61222
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78582 / 61222 ti = "17/78582/61222"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78582/61222.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78582 ÷ 217
    78582 ÷ 131072     		x = 0.599533081054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61222 ÷ 217
    61222 ÷ 131072     		y = 0.467086791992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.599533081054688 × 2 - 1) × π
    0.199066162109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.62538479
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.467086791992188 × 2 - 1) × π
    0.065826416015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.206799784960922
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.62538479} λ = 0.62538479}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.206799784960922))-π/2
    2×atan(1.22973633542301)-π/2
    2×0.888068836414298-π/2
    1.7761376728286-1.57079632675     		φ = 0.20534135
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.62538479} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.831909°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.20534135 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.765193°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78582 KachelY 61222 0.62538479 0.20534135 35.831909 11.765193
    Oben rechts KachelX + 1 78583 KachelY 61222 0.62543273 0.20534135 35.834656 11.765193
    Unten links KachelX 78582 KachelY + 1 61223 0.62538479 0.20529442 35.831909 11.762504
    Unten rechts KachelX + 1 78583 KachelY + 1 61223 0.62543273 0.20529442 35.834656 11.762504
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.20534135-0.20529442) × R
    4.69300000000006e-05 × 6371000     		dl = 298.991030000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.20534135-0.20529442) × R
    4.69300000000006e-05 × 6371000     		dr = 298.991030000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.62538479-0.62543273) × cos(0.20534135) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.978991439830815 × 6371000     		do = 299.009184963796m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.62538479-0.62543273) × cos(0.20529442) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.979001007843114 × 6371000     		du = 299.012107281033m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.20534135)-sin(0.20529442))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.978991439830815-0.979001007843114)×R²
    abs(0.62543273-0.62538479)×9.56801229812232e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.56801229812232e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.56801229812232e-06×40589641000000     		ar = 89401.5010815421m²