Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7858 / 3327
↖ ↑ ↗
← N 72.402350°
W  7.338867°		 ← 738.68 m → N 72.402350°
W  7.316894°		 →
↑
738.78 m
↓
↑
738.78 m
↓
N 72.395706°
W  7.338867°		 ← 738.95 m →
545 821 m²		 N 72.395706°
W  7.316894°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7858 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3327 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479644775390625 y=0.203094482421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479644775390625 × 214)
    floor (0.479644775390625 × 16384)
    floor (7858.5)     		tx = 7858
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.203094482421875 × 214)
    floor (0.203094482421875 × 16384)
    floor (3327.5)     		ty = 3327
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7858 / 3327 ti = "14/7858/3327"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7858/3327.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7858 ÷ 214
    7858 ÷ 16384     		x = 0.4796142578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3327 ÷ 214
    3327 ÷ 16384     		y = 0.20306396484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4796142578125 × 2 - 1) × π
    -0.040771484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.12808740
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20306396484375 × 2 - 1) × π
    0.5938720703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.86570413321259
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12808740} λ = -0.12808740}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.86570413321259))-π/2
    2×atan(6.46048332568065)-π/2
    2×1.41722785963226-π/2
    2.83445571926452-1.57079632675     		φ = 1.26365939
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12808740} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.338867°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26365939 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.402350°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7858 KachelY 3327 -0.12808740 1.26365939 -7.338867 72.402350
    Oben rechts KachelX + 1 7859 KachelY 3327 -0.12770390 1.26365939 -7.316894 72.402350
    Unten links KachelX 7858 KachelY + 1 3328 -0.12808740 1.26354343 -7.338867 72.395706
    Unten rechts KachelX + 1 7859 KachelY + 1 3328 -0.12770390 1.26354343 -7.316894 72.395706
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26365939-1.26354343) × R
    0.000115960000000026 × 6371000     		dl = 738.781160000166m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26365939-1.26354343) × R
    0.000115960000000026 × 6371000     		dr = 738.781160000166m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12808740--0.12770390) × cos(1.26365939) × R
    0.000383499999999981 × 0.302330798663619 × 6371000     		do = 738.678340262613m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12808740--0.12770390) × cos(1.26354343) × R
    0.000383499999999981 × 0.302441330058417 × 6371000     		du = 738.948399243098m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26365939)-sin(1.26354343))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.302330798663619-0.302441330058417)×R²
    abs(-0.12770390--0.12808740)×0.000110531394798108×R²
    0.000383499999999981×0.000110531394798108×6371000²
    0.000383499999999981×0.000110531394798108×40589641000000     		ar = 545821.398942639m²