Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78573 / 83930
↖ ↑ ↗
← S 45.015302°
E 35.807190°		 ← 215.91 m → S 45.015302°
E 35.809937°		 →
↑
215.91 m
↓
↑
215.91 m
↓
S 45.017244°
E 35.807190°		 ← 215.90 m →
46 617 m²		 S 45.017244°
E 35.809937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78573 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83930 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.599468231201172 y=0.640338897705078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.599468231201172 × 217)
    floor (0.599468231201172 × 131072)
    floor (78573.5)     		tx = 78573
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640338897705078 × 217)
    floor (0.640338897705078 × 131072)
    floor (83930.5)     		ty = 83930
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78573 / 83930 ti = "17/78573/83930"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78573/83930.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78573 ÷ 217
    78573 ÷ 131072     		x = 0.599464416503906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83930 ÷ 217
    83930 ÷ 131072     		y = 0.640335083007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.599464416503906 × 2 - 1) × π
    0.198928833007812 × 3.1415926535     		Λ = 0.62495336
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.640335083007812 × 2 - 1) × π
    -0.280670166015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.881751331611313
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.62495336} λ = 0.62495336}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.881751331611313))-π/2
    2×atan(0.414057124988619)-π/2
    2×0.392565546653897-π/2
    0.785131093307795-1.57079632675     		φ = -0.78566523
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.62495336} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.807190°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78566523 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.015302°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78573 KachelY 83930 0.62495336 -0.78566523 35.807190 -45.015302
    Oben rechts KachelX + 1 78574 KachelY 83930 0.62500130 -0.78566523 35.809937 -45.015302
    Unten links KachelX 78573 KachelY + 1 83931 0.62495336 -0.78569912 35.807190 -45.017244
    Unten rechts KachelX + 1 78574 KachelY + 1 83931 0.62500130 -0.78569912 35.809937 -45.017244
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78566523--0.78569912) × R
    3.38899999999809e-05 × 6371000     		dl = 215.913189999878m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78566523--0.78569912) × R
    3.38899999999809e-05 × 6371000     		dr = 215.913189999878m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.62495336-0.62500130) × cos(-0.78566523) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.706917911366056 × 6371000     		do = 215.910926198091m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.62495336-0.62500130) × cos(-0.78569912) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.706893940712198 × 6371000     		du = 215.903604943398m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78566523)-sin(-0.78569912))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.706917911366056-0.706893940712198)×R²
    abs(0.62500130-0.62495336)×2.3970653857841e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3970653857841e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3970653857841e-05×40589641000000     		ar = 46617.2264580514m²