Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7857 / 4847
↖ ↑ ↗
← N 59.006627°
W  7.360840°		 ← 1 258.11 m → N 59.006627°
W  7.338867°		 →
↑
1 258.34 m
↓
↑
1 258.34 m
↓
N 58.995311°
W  7.360840°		 ← 1 258.52 m →
1 583 381 m²		 N 58.995311°
W  7.338867°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7857 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4847 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479583740234375 y=0.295867919921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479583740234375 × 214)
    floor (0.479583740234375 × 16384)
    floor (7857.5)     		tx = 7857
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.295867919921875 × 214)
    floor (0.295867919921875 × 16384)
    floor (4847.5)     		ty = 4847
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7857 / 4847 ti = "14/7857/4847"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7857/4847.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7857 ÷ 214
    7857 ÷ 16384     		x = 0.47955322265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4847 ÷ 214
    4847 ÷ 16384     		y = 0.29583740234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47955322265625 × 2 - 1) × π
    -0.0408935546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.12847089
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29583740234375 × 2 - 1) × π
    0.4083251953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.2827914338327
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12847089} λ = -0.12847089}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2827914338327))-π/2
    2×atan(3.6066935331242)-π/2
    2×1.30032812965428-π/2
    2.60065625930855-1.57079632675     		φ = 1.02985993
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12847089} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.360840°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02985993 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.006627°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7857 KachelY 4847 -0.12847089 1.02985993 -7.360840 59.006627
    Oben rechts KachelX + 1 7858 KachelY 4847 -0.12808740 1.02985993 -7.338867 59.006627
    Unten links KachelX 7857 KachelY + 1 4848 -0.12847089 1.02966242 -7.360840 58.995311
    Unten rechts KachelX + 1 7858 KachelY + 1 4848 -0.12808740 1.02966242 -7.338867 58.995311
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02985993-1.02966242) × R
    0.000197510000000012 × 6371000     		dl = 1258.33621000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02985993-1.02966242) × R
    0.000197510000000012 × 6371000     		dr = 1258.33621000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12847089--0.12808740) × cos(1.02985993) × R
    0.000383490000000014 × 0.514938921788707 × 6371000     		do = 1258.10638966087m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12847089--0.12808740) × cos(1.02966242) × R
    0.000383490000000014 × 0.515108222622785 × 6371000     		du = 1258.52002796265m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02985993)-sin(1.02966242))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.514938921788707-0.515108222622785)×R²
    abs(-0.12808740--0.12847089)×0.000169300834078179×R²
    0.000383490000000014×0.000169300834078179×6371000²
    0.000383490000000014×0.000169300834078179×40589641000000     		ar = 1583381.07931532m²