Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 78567 / 83978
↖ ↑ ↗
← S 45.108423°
E 35.790711°		 ← 215.56 m → S 45.108423°
E 35.793457°		 →
↑
215.53 m
↓
↑
215.53 m
↓
S 45.110362°
E 35.790711°		 ← 215.55 m →
46 459 m²		 S 45.110362°
E 35.793457°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78567 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83978 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.599422454833984 y=0.640705108642578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.599422454833984 × 217)
    floor (0.599422454833984 × 131072)
    floor (78567.5)     		tx = 78567
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640705108642578 × 217)
    floor (0.640705108642578 × 131072)
    floor (83978.5)     		ty = 83978
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78567 / 83978 ti = "17/78567/83978"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78567/83978.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78567 ÷ 217
    78567 ÷ 131072     		x = 0.599418640136719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83978 ÷ 217
    83978 ÷ 131072     		y = 0.640701293945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.599418640136719 × 2 - 1) × π
    0.198837280273438 × 3.1415926535     		Λ = 0.62466574
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.640701293945312 × 2 - 1) × π
    -0.281402587890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.884052302793076
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.62466574} λ = 0.62466574}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.884052302793076))-π/2
    2×atan(0.413105486742375)-π/2
    2×0.391752909593259-π/2
    0.783505819186518-1.57079632675     		φ = -0.78729051
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.62466574} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.790711°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78729051 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.108423°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78567 KachelY 83978 0.62466574 -0.78729051 35.790711 -45.108423
    Oben rechts KachelX + 1 78568 KachelY 83978 0.62471368 -0.78729051 35.793457 -45.108423
    Unten links KachelX 78567 KachelY + 1 83979 0.62466574 -0.78732434 35.790711 -45.110362
    Unten rechts KachelX + 1 78568 KachelY + 1 83979 0.62471368 -0.78732434 35.793457 -45.110362
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78729051--0.78732434) × R
    3.38299999999014e-05 × 6371000     		dl = 215.530929999372m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78729051--0.78732434) × R
    3.38299999999014e-05 × 6371000     		dr = 215.530929999372m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.62466574-0.62471368) × cos(-0.78729051) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.70576742480443 × 6371000     		do = 215.559537989145m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.62466574-0.62471368) × cos(-0.78732434) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.705743457753398 × 6371000     		du = 215.552217834848m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78729051)-sin(-0.78732434))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.70576742480443-0.705743457753398)×R²
    abs(0.62471368-0.62466574)×2.39670510316925e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.39670510316925e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.39670510316925e-05×40589641000000     		ar = 46458.9588376662m²