Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 78563 / 83938
↖ ↑ ↗
← S 45.030833°
E 35.779724°		 ← 215.85 m → S 45.030833°
E 35.782471°		 →
↑
215.79 m
↓
↑
215.79 m
↓
S 45.032774°
E 35.779724°		 ← 215.85 m →
46 577 m²		 S 45.032774°
E 35.782471°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78563 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83938 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.599391937255859 y=0.640399932861328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.599391937255859 × 217)
    floor (0.599391937255859 × 131072)
    floor (78563.5)     		tx = 78563
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640399932861328 × 217)
    floor (0.640399932861328 × 131072)
    floor (83938.5)     		ty = 83938
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78563 / 83938 ti = "17/78563/83938"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78563/83938.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78563 ÷ 217
    78563 ÷ 131072     		x = 0.599388122558594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83938 ÷ 217
    83938 ÷ 131072     		y = 0.640396118164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.599388122558594 × 2 - 1) × π
    0.198776245117188 × 3.1415926535     		Λ = 0.62447399
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.640396118164062 × 2 - 1) × π
    -0.280792236328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.882134826808273
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.62447399} λ = 0.62447399}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.882134826808273))-π/2
    2×atan(0.413898366513421)-π/2
    2×0.392430015226109-π/2
    0.784860030452218-1.57079632675     		φ = -0.78593630
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.62447399} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.779724°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78593630 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.030833°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78563 KachelY 83938 0.62447399 -0.78593630 35.779724 -45.030833
    Oben rechts KachelX + 1 78564 KachelY 83938 0.62452193 -0.78593630 35.782471 -45.030833
    Unten links KachelX 78563 KachelY + 1 83939 0.62447399 -0.78597017 35.779724 -45.032774
    Unten rechts KachelX + 1 78564 KachelY + 1 83939 0.62452193 -0.78597017 35.782471 -45.032774
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78593630--0.78597017) × R
    3.38699999999914e-05 × 6371000     		dl = 215.785769999945m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78593630--0.78597017) × R
    3.38699999999914e-05 × 6371000     		dr = 215.785769999945m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.62447399-0.62452193) × cos(-0.78593630) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.706726158778166 × 6371000     		do = 215.852360022037m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.62447399-0.62452193) × cos(-0.78597017) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.706702195781376 × 6371000     		du = 215.84504110601m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78593630)-sin(-0.78597017))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.706726158778166-0.706702195781376)×R²
    abs(0.62452193-0.62447399)×2.39629967894173e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39629967894173e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39629967894173e-05×40589641000000     		ar = 46577.0780591368m²