Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 78562 / 83939
↖ ↑ ↗
← S 45.032774°
E 35.776977°		 ← 215.85 m → S 45.032774°
E 35.779724°		 →
↑
215.85 m
↓
↑
215.85 m
↓
S 45.034715°
E 35.776977°		 ← 215.84 m →
46 589 m²		 S 45.034715°
E 35.779724°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78562 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83939 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.599384307861328 y=0.640407562255859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.599384307861328 × 217)
    floor (0.599384307861328 × 131072)
    floor (78562.5)     		tx = 78562
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640407562255859 × 217)
    floor (0.640407562255859 × 131072)
    floor (83939.5)     		ty = 83939
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78562 / 83939 ti = "17/78562/83939"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78562/83939.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78562 ÷ 217
    78562 ÷ 131072     		x = 0.599380493164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83939 ÷ 217
    83939 ÷ 131072     		y = 0.640403747558594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.599380493164062 × 2 - 1) × π
    0.198760986328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.62442605
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.640403747558594 × 2 - 1) × π
    -0.280807495117188 × 3.1415926535     		Φ = -0.882182763707893
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.62442605} λ = 0.62442605}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.882182763707893))-π/2
    2×atan(0.413878525984523)-π/2
    2×0.392413076382824-π/2
    0.784826152765648-1.57079632675     		φ = -0.78597017
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.62442605} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.776977°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78597017 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.032774°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78562 KachelY 83939 0.62442605 -0.78597017 35.776977 -45.032774
    Oben rechts KachelX + 1 78563 KachelY 83939 0.62447399 -0.78597017 35.779724 -45.032774
    Unten links KachelX 78562 KachelY + 1 83940 0.62442605 -0.78600405 35.776977 -45.034715
    Unten rechts KachelX + 1 78563 KachelY + 1 83940 0.62447399 -0.78600405 35.779724 -45.034715
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78597017--0.78600405) × R
    3.38799999999306e-05 × 6371000     		dl = 215.849479999558m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78597017--0.78600405) × R
    3.38799999999306e-05 × 6371000     		dr = 215.849479999558m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.62442605-0.62447399) × cos(-0.78597017) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.706702195781376 × 6371000     		do = 215.84504110651m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.62442605-0.62447399) × cos(-0.78600405) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.706678224898524 × 6371000     		du = 215.837719781876m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78597017)-sin(-0.78600405))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.706702195781376-0.706678224898524)×R²
    abs(0.62447399-0.62442605)×2.39708828526641e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.39708828526641e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.39708828526641e-05×40589641000000     		ar = 46589.2497357855m²