Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78561 / 83958
↖ ↑ ↗
← S 45.069641°
E 35.774231°		 ← 215.66 m → S 45.069641°
E 35.776977°		 →
↑
215.72 m
↓
↑
215.72 m
↓
S 45.071581°
E 35.774231°		 ← 215.65 m →
46 522 m²		 S 45.071581°
E 35.776977°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78561 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83958 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.599376678466797 y=0.640552520751953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.599376678466797 × 217)
    floor (0.599376678466797 × 131072)
    floor (78561.5)     		tx = 78561
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640552520751953 × 217)
    floor (0.640552520751953 × 131072)
    floor (83958.5)     		ty = 83958
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78561 / 83958 ti = "17/78561/83958"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78561/83958.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78561 ÷ 217
    78561 ÷ 131072     		x = 0.599372863769531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83958 ÷ 217
    83958 ÷ 131072     		y = 0.640548706054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.599372863769531 × 2 - 1) × π
    0.198745727539062 × 3.1415926535     		Λ = 0.62437812
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.640548706054688 × 2 - 1) × π
    -0.281097412109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.883093564800674
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.62437812} λ = 0.62437812}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.883093564800674))-π/2
    2×atan(0.413501736586922)-π/2
    2×0.392091347512724-π/2
    0.784182695025448-1.57079632675     		φ = -0.78661363
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.62437812} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.774231°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78661363 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.069641°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78561 KachelY 83958 0.62437812 -0.78661363 35.774231 -45.069641
    Oben rechts KachelX + 1 78562 KachelY 83958 0.62442605 -0.78661363 35.776977 -45.069641
    Unten links KachelX 78561 KachelY + 1 83959 0.62437812 -0.78664749 35.774231 -45.071581
    Unten rechts KachelX + 1 78562 KachelY + 1 83959 0.62442605 -0.78664749 35.776977 -45.071581
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78661363--0.78664749) × R
    3.38600000000522e-05 × 6371000     		dl = 215.722060000332m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78661363--0.78664749) × R
    3.38600000000522e-05 × 6371000     		dr = 215.722060000332m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.62437812-0.62442605) × cos(-0.78661363) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.706246794395959 × 6371000     		do = 215.660954817375m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.62437812-0.62442605) × cos(-0.78664749) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.706222822271716 × 6371000     		du = 215.653634640853m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78661363)-sin(-0.78664749))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.706246794395959-0.706222822271716)×R²
    abs(0.62442605-0.62437812)×2.3972124243099e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.3972124243099e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.3972124243099e-05×40589641000000     		ar = 46522.0358776168m²