Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7856 / 9868
↖ ↑ ↗
← S 34.524662°
W  7.382813°		 ← 2 012.97 m → S 34.524662°
W  7.360840°		 →
↑
2 012.73 m
↓
↑
2 012.73 m
↓
S 34.542763°
W  7.382813°		 ← 2 012.54 m →
4 051 125 m²		 S 34.542763°
W  7.360840°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7856 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9868 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479522705078125 y=0.602325439453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479522705078125 × 214)
    floor (0.479522705078125 × 16384)
    floor (7856.5)     		tx = 7856
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.602325439453125 × 214)
    floor (0.602325439453125 × 16384)
    floor (9868.5)     		ty = 9868
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7856 / 9868 ti = "14/7856/9868"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7856/9868.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7856 ÷ 214
    7856 ÷ 16384     		x = 0.4794921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9868 ÷ 214
    9868 ÷ 16384     		y = 0.602294921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4794921875 × 2 - 1) × π
    -0.041015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.12885439
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.602294921875 × 2 - 1) × π
    -0.20458984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.642737950105713
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12885439} λ = -0.12885439}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.642737950105713))-π/2
    2×atan(0.52585069828214)-π/2
    2×0.484113655495592-π/2
    0.968227310991184-1.57079632675     		φ = -0.60256902
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12885439} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.382813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60256902 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.524662°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7856 KachelY 9868 -0.12885439 -0.60256902 -7.382813 -34.524662
    Oben rechts KachelX + 1 7857 KachelY 9868 -0.12847089 -0.60256902 -7.360840 -34.524662
    Unten links KachelX 7856 KachelY + 1 9869 -0.12885439 -0.60288494 -7.382813 -34.542763
    Unten rechts KachelX + 1 7857 KachelY + 1 9869 -0.12847089 -0.60288494 -7.360840 -34.542763
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60256902--0.60288494) × R
    0.000315920000000025 × 6371000     		dl = 2012.72632000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60256902--0.60288494) × R
    0.000315920000000025 × 6371000     		dr = 2012.72632000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12885439--0.12847089) × cos(-0.60256902) × R
    0.000383500000000009 × 0.82388231514847 × 6371000     		do = 2012.97394713253m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12885439--0.12847089) × cos(-0.60288494) × R
    0.000383500000000009 × 0.823703222930321 × 6371000     		du = 2012.53637496641m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60256902)-sin(-0.60288494))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.82388231514847-0.823703222930321)×R²
    abs(-0.12847089--0.12885439)×0.000179092218148269×R²
    0.000383500000000009×0.000179092218148269×6371000²
    0.000383500000000009×0.000179092218148269×40589641000000     		ar = 4051125.3220542m²