Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7856 / 4849
↖ ↑ ↗
← N 58.983991°
W  7.382813°		 ← 1 258.97 m → N 58.983991°
W  7.360840°		 →
↑
1 259.16 m
↓
↑
1 259.16 m
↓
N 58.972667°
W  7.382813°		 ← 1 259.38 m →
1 585 506 m²		 N 58.972667°
W  7.360840°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7856 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4849 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479522705078125 y=0.295989990234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479522705078125 × 214)
    floor (0.479522705078125 × 16384)
    floor (7856.5)     		tx = 7856
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.295989990234375 × 214)
    floor (0.295989990234375 × 16384)
    floor (4849.5)     		ty = 4849
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7856 / 4849 ti = "14/7856/4849"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7856/4849.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7856 ÷ 214
    7856 ÷ 16384     		x = 0.4794921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4849 ÷ 214
    4849 ÷ 16384     		y = 0.29595947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4794921875 × 2 - 1) × π
    -0.041015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.12885439
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29595947265625 × 2 - 1) × π
    0.4080810546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.28202444343878
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12885439} λ = -0.12885439}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28202444343878))-π/2
    2×atan(3.6039282944218)-π/2
    2×1.30013058812385-π/2
    2.60026117624769-1.57079632675     		φ = 1.02946485
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12885439} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.382813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02946485 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.983991°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7856 KachelY 4849 -0.12885439 1.02946485 -7.382813 58.983991
    Oben rechts KachelX + 1 7857 KachelY 4849 -0.12847089 1.02946485 -7.360840 58.983991
    Unten links KachelX 7856 KachelY + 1 4850 -0.12885439 1.02926721 -7.382813 58.972667
    Unten rechts KachelX + 1 7857 KachelY + 1 4850 -0.12847089 1.02926721 -7.360840 58.972667
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02946485-1.02926721) × R
    0.00019764000000011 × 6371000     		dl = 1259.1644400007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02946485-1.02926721) × R
    0.00019764000000011 × 6371000     		dr = 1259.1644400007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12885439--0.12847089) × cos(1.02946485) × R
    0.000383500000000009 × 0.515277554783791 × 6371000     		do = 1258.96657113584m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12885439--0.12847089) × cos(1.02926721) × R
    0.000383500000000009 × 0.515446926816009 × 6371000     		du = 1259.38039418066m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02946485)-sin(1.02926721))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.515277554783791-0.515446926816009)×R²
    abs(-0.12847089--0.12885439)×0.000169372032217674×R²
    0.000383500000000009×0.000169372032217674×6371000²
    0.000383500000000009×0.000169372032217674×40589641000000     		ar = 1585506.47831711m²