Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7856 / 4848
↖ ↑ ↗
← N 58.995311°
W  7.382813°		 ← 1 258.55 m → N 58.995311°
W  7.360840°		 →
↑
1 258.72 m
↓
↑
1 258.72 m
↓
N 58.983991°
W  7.382813°		 ← 1 258.97 m →
1 584 424 m²		 N 58.983991°
W  7.360840°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7856 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4848 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479522705078125 y=0.295928955078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479522705078125 × 214)
    floor (0.479522705078125 × 16384)
    floor (7856.5)     		tx = 7856
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.295928955078125 × 214)
    floor (0.295928955078125 × 16384)
    floor (4848.5)     		ty = 4848
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7856 / 4848 ti = "14/7856/4848"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7856/4848.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7856 ÷ 214
    7856 ÷ 16384     		x = 0.4794921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4848 ÷ 214
    4848 ÷ 16384     		y = 0.2958984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4794921875 × 2 - 1) × π
    -0.041015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.12885439
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2958984375 × 2 - 1) × π
    0.408203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.28240793863574
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12885439} λ = -0.12885439}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28240793863574))-π/2
    2×atan(3.60531064865906)-π/2
    2×1.3002293751222-π/2
    2.60045875024441-1.57079632675     		φ = 1.02966242
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12885439} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.382813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02966242 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.995311°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7856 KachelY 4848 -0.12885439 1.02966242 -7.382813 58.995311
    Oben rechts KachelX + 1 7857 KachelY 4848 -0.12847089 1.02966242 -7.360840 58.995311
    Unten links KachelX 7856 KachelY + 1 4849 -0.12885439 1.02946485 -7.382813 58.983991
    Unten rechts KachelX + 1 7857 KachelY + 1 4849 -0.12847089 1.02946485 -7.360840 58.983991
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02966242-1.02946485) × R
    0.000197569999999869 × 6371000     		dl = 1258.71846999917m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02966242-1.02946485) × R
    0.000197569999999869 × 6371000     		dr = 1258.71846999917m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12885439--0.12847089) × cos(1.02966242) × R
    0.000383500000000009 × 0.515108222622785 × 6371000     		do = 1258.55284550749m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12885439--0.12847089) × cos(1.02946485) × R
    0.000383500000000009 × 0.515277554783791 × 6371000     		du = 1258.96657113584m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02966242)-sin(1.02946485))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.515108222622785-0.515277554783791)×R²
    abs(-0.12847089--0.12885439)×0.000169332161005897×R²
    0.000383500000000009×0.000169332161005897×6371000²
    0.000383500000000009×0.000169332161005897×40589641000000     		ar = 1584424.09930887m²