Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7855 / 4855
↖ ↑ ↗
← N 58.915992°
W  7.404785°		 ← 1 261.42 m → N 58.915992°
W  7.382813°		 →
↑
1 261.65 m
↓
↑
1 261.65 m
↓
N 58.904646°
W  7.404785°		 ← 1 261.83 m →
1 591 728 m²		 N 58.904646°
W  7.382813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7855 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4855 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479461669921875 y=0.296356201171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479461669921875 × 214)
    floor (0.479461669921875 × 16384)
    floor (7855.5)     		tx = 7855
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.296356201171875 × 214)
    floor (0.296356201171875 × 16384)
    floor (4855.5)     		ty = 4855
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7855 / 4855 ti = "14/7855/4855"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7855/4855.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7855 ÷ 214
    7855 ÷ 16384     		x = 0.47943115234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4855 ÷ 214
    4855 ÷ 16384     		y = 0.29632568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47943115234375 × 2 - 1) × π
    -0.0411376953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.12923788
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29632568359375 × 2 - 1) × π
    0.4073486328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.27972347225702
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12923788} λ = -0.12923788}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27972347225702))-π/2
    2×atan(3.59564529240417)-π/2
    2×1.29953718396025-π/2
    2.5990743679205-1.57079632675     		φ = 1.02827804
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12923788} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.404785°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02827804 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.915992°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7855 KachelY 4855 -0.12923788 1.02827804 -7.404785 58.915992
    Oben rechts KachelX + 1 7856 KachelY 4855 -0.12885439 1.02827804 -7.382813 58.915992
    Unten links KachelX 7855 KachelY + 1 4856 -0.12923788 1.02808001 -7.404785 58.904646
    Unten rechts KachelX + 1 7856 KachelY + 1 4856 -0.12885439 1.02808001 -7.382813 58.904646
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02827804-1.02808001) × R
    0.00019802999999996 × 6371000     		dl = 1261.64912999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02827804-1.02808001) × R
    0.00019802999999996 × 6371000     		dr = 1261.64912999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12923788--0.12885439) × cos(1.02827804) × R
    0.000383489999999986 × 0.516294315551444 × 6371000     		do = 1261.41790774817m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12923788--0.12885439) × cos(1.02808001) × R
    0.000383489999999986 × 0.516463900540993 × 6371000     		du = 1261.8322403028m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02827804)-sin(1.02808001))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.516294315551444-0.516463900540993)×R²
    abs(-0.12885439--0.12923788)×0.000169584989549776×R²
    0.000383489999999986×0.000169584989549776×6371000²
    0.000383489999999986×0.000169584989549776×40589641000000     		ar = 1591728.18223086m²